工程上，钢材的剪切强度一般取为拉伸强度的0.58倍，即 \tau =0.58\sigma 。
在Ferdinand P.Beer等人著作的《MECHANICS OF MATERIALS》中：
0.58是钢材在纯剪切情况下，根据第四强度理论计算得来。
这里有俩概念：
一是纯剪切状态，根据《材料力学》的描述，纯剪切本质上是拉-压二向应力状态；
二是第四强度理论。
推导过程中将涉及应变能、应变能密度、韧性模量、回弹模量、畸变能等听起来复杂实则非常易于理解的概念。
应变能
图1 拉力P对杆件做功
正如图1里看到的，杆件在单轴受拉情况下，作用力P导致其产生微小的位移dx。所做的功（单位J-焦耳，1焦耳=1N·m）为：
dU=Pdx （1）
积分形式：
U=\int_{0}^{x_{1} } Pdx （2）
也就是说，拉力P作用下导致拉杆发生变形所做的总功为图2力-位移曲线中x1段的面积。P做的功导致了与杆件变形相关的能量的增加，这种能量U被称为杆件的“应变能”。
在线弹性受力情况下，力和位移呈线性正相关，所以根据公式（2）可以得到应变能和力 P=kx （k为直线斜率）以及位移x的函数关系式：
U=\int_{0}^{x_{1} } Pdx=\int_{0}^{x_{1} } kxdx=\frac{1}{2} kx_{1}^{ 2} （3）
应变能密度
在P作用下，对于均质材料其单位体积所产生的应变能为：
\frac{U}{V} =\int_{0}^{x} \frac{P}{A} \frac{dx}{L} (4)
根据胡克定律，P/A为截面应力 \sigma _{x} ；x/L为正应变 \varepsilon _{x} 。所以进一步得到：
u=\frac{U}{V} =\int_{0}^{\varepsilon }\sigma _{x} d\varepsilon _{x} （5）
应变能与杆件体积的比值被称为“应变能密度”，用u表示。
图3
图3意思是：当拉力P导致杆件发生塑性变形时，即应变从0发展到 \varepsilon _{1} ，此时撤消拉力P，杆件截面应力回归到0，与此同时杆件会发生一定回弹，最终应变是 \varepsilon _{p} ，应变的回弹量为 \varepsilon _{1} -\varepsilon _{p} 。
图3中深色区域的面积即为恢复的应变能密度，而浅色区域的面积与杆件体积相乘，就是拉伸过程中产生并耗散掉的热量。
图4
把材料断裂时的极限应变带入公式（5）得到的数值，就被叫做材料的“韧性模量”，其数值等于图4中全部的浅色区域面积，含义是“为使材料发生断裂所需要的应变能密度”。
但是如果截面应力位于弹性极限以内，即图4中的直线段，根据胡克定律：
\sigma _{x} =E\varepsilon _{x} （6）
将（6）带入公式（5）：
u=\frac{U}{V} =\int_{0}^{\varepsilon _{1} } E\varepsilon _{x} d\varepsilon _{x} =\frac{E\varepsilon _{1}^{2} }{2} =\frac{\sigma _{1}^{2} }{2E} (7)
图5
把屈服强度σY带入公式（7），得到的应变能密度（图5浅色区域面积）又被称作材料的“回弹模数”，即：
u_{Y} =\frac{\sigma _{Y}^{2} }{2E} (8)
了解上述基本概念之后，咱们再看看3种 不同应力状态下的应变能U&应变能密度u。
正应力下的弹性应变能
图6
前面讲应变能密度的时候，举的例子是等截面杆件，应力的分布很均匀。但是对于图6中的变截面构件来说，其横截面应力分布并不均匀。对于这种情况，可截取一小段体积ΔV计算应变能密度：
u=\frac{dU}{dV} (9)
当线弹性阶段内某一点应力为 \sigma _{x} ，应变为 \varepsilon _{x} ，根据公式（8）同理可得该点应变能密度：
u=\frac{\sigma _{x} ^{2} }{2E} =\frac{1}{2} \sigma _{x} \varepsilon _{x} （10）
那么根据公式（9），在单轴拉伸正应力作用下的ΔV这一小段的弹性应变能为：
dU=udV （11)
或
U=\int \frac{\sigma _{x} ^{2} }{2E} dV (12)
在拉力P作用下，距离端部x处的横截面为A的截面应力为 \sigma _{x} =P/A ，代入公式（12）得到：
U=\int \frac{P ^{2} }{2EA^{2} } dV (13)
其中dV是不规则微小段ΔV的体积，当它的长度足够小时，可以近似认为 dV=Adx ，再次代入公式（13）得应变能与微小段长度dx的函数关系表达式为：
U=\int_{0}^{L} \frac{P^{2} }{2EA} dx （14）
当构件为等截面杆件时，A为定值，可以很容易根据公式（14）求出P作用下的应变能：
U=\frac{P^{2} L}{2EA} (15)
剪切应力下的弹性应变能
图7
当材料受到剪应力τxy时，结合图7剪应力-应变图和公式（5）同理可得应变能密度为：
u=\int_{0}^{Y_{xy} } \tau _{xy} d\gamma _{xy} （16）
应变能密度即为图7中浅色区域面积。
在线弹性阶段，剪切应力 \tau _{xy} =G\gamma _{xy} ，G为剪切弹性模量（或刚性模量）。将其代入公式（16）并求积分得：
u=\frac{1}{2} G\gamma ^{2} _{xy} =\frac{\tau _{xy}^{ 2} }{2G} =\frac{1}{2} \tau _{xy} \gamma _{xy} （17）
根据公式（9）和公式（12），同理可得剪切应力作用下弹性应变能：
U=\int \frac{\tau _{xy} ^{2} }{2G} dV (18)
复杂应力状态下的应变能
前面介绍了正应力状态下和剪切应力状态下的弹性应变能。
实际上，几乎所有构件在工作时，都处于复杂应力状态，包括：正应力 \sigma _{x} 、\sigma _{y} 、\sigma _{z} 和切应力 \tau _{xy} 、\tau _{yz} 、\tau _{zx} 。
复杂应力状态下的应变能密度可通过公式（10）和（17）求得：
u=\frac{1}{2} (\sigma _{x} \varepsilon _{x} +\sigma _{y} \varepsilon _{y} +\sigma _{z} \varepsilon _{z}+\tau _{xy} \gamma _{xy }+\tau _{yz} \gamma _{yz }+\tau _{zx} \gamma _{zx} ) （19）
把胡克定律 \varepsilon _{x} =\sigma _{x} /E 、\gamma _{xy} =\tau _{xy} /G 以及三向应力状态下单向应力对其它两个方向应变的影响（这样理解‘泊松比’的概念）代入公式（19）可得：
\begin{aligned} u = & \frac{1}{2E} [ \sigma_{x}^2 + \sigma_{y}^2 + \sigma_{z}^2 -2v(\sigma_{x}\sigma_{y} + \sigma_{y}\sigma_{z} + \sigma_{z}\sigma_{x}) ] \\ & + \frac{1}{2G}(\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2) \end{aligned} （20）
假设某一点坐标为（a,b,c），在三轴拉应力作用下，剪应力为0，那么就有：
u=\frac{1}{2E} \left [ \sigma _{a} ^{2} +\sigma _{b} ^{2}+\sigma _{c} ^{2}-2 v\left ( \sigma _{a} \sigma _{b } +\sigma _{b} \sigma _{c } +\sigma _{c} \sigma _{a} \right ) \right ] （21）
说到这里，需要提醒大家的是，单位长度的立方体在三向应力作用下，不仅体积发生变化而且形状也会发生变化（畸形）。那么复杂应力状态下的应变能密度u就被分成了两部分：体积改变能密度 u_{v} 和畸变能密度 u_{d} ：
u=u_{v} +u_{d} (22)
我们知道，单位体积的改变只与三个主应力之和 \sigma _{a} +\sigma _{b} +\sigma _{c} 有关，三个主应力各自分摊的比例如何并不重要。
也就是说，用三个主应力平均值 (\sigma _{a} +\sigma _{b} +\sigma _{c} )/3 代替 \sigma _{a} 、\sigma _{b} 、\sigma _{c} ，单位体积的改变与 \sigma _{a}、\sigma _{b} 、\sigma _{c} 共同作用的情况一样。我们在这里可以引入平均应力：
\bar{\sigma } =\frac{\sigma _{a}+\sigma _{b} +\sigma _{c}}{3} (23)
图8
如图8所示，可设：
\sigma _{a} =\bar{\sigma } +\sigma _{a} ^{'} (24)
\sigma _{b} =\bar{\sigma } +\sigma _{b} ^{'} (25)
\sigma _{c} =\bar{\sigma } +\sigma _{c} ^{'} (26)
\sigma _{a} ^{'} 、\sigma _{b} ^{'} 、\sigma _{c} ^{'} 分别是 \sigma _{a} 、\sigma _{b} 、\sigma _{c} 与平均应力的差值，且差值之和为0：
\sigma _{a}^{ '} +\sigma _{b}^{ '}+\sigma _{c}^{ '}=0 (27)
这就意味着三个差值有正有负，既有拉力也有压力，这样必然会导致单位体积产生变形（畸变）而体积不变（因为应力之和为0）。
说到这里，再想想图8提到的（a）状态下的应变能密度u分为体积改变能密度 u_{v} 和畸变能密度 u_{d} ，不难推断出两种能密度分别对应于（b）和（c）。
这下可以根据公式（21），把 \sigma _{a} 、 \sigma _{b} 、 \sigma _{c} 替换成平均应力代入，求得体积改变能密度 u_{v} ：
u_{v} =\frac{1}{2E} \left [ 3\bar{\sigma} ^{ 2} -2v\left ( 3\bar{\sigma ^{2} } \right ) \right ] =\frac{3\left ( 1-2v \right ) }{2E} \bar{\sigma} ^{ 2} (28)
或代入公式（23）得：
U_{v} =\frac{1-2v}{6E} (\sigma _{a} +\sigma _{b} +\sigma _{c} )^2 (29)
联系公式（22），可得畸变能密度：
U_{d} =u-u_{v} =\frac{1+v}{6E} \left [ \left ( \sigma _{a} ^{2} -2\sigma _{a} \sigma _{b }+\sigma _{b} ^{2} \right ) +\left ( \sigma _{b} ^{2} -2\sigma _{b} \sigma _{c }+\sigma _{c} ^{2} \right ) +\left ( \sigma _{c} ^{2} -2\sigma _{c} \sigma _{a }+\sigma _{a} ^{2} \right ) \right ]
再根据弹性模量和剪切模量的关系：
E=2\left ( 1+v \right ) G
代入以上公式得：
u_{d} =\frac{1}{12G} \left [{ \left ( \sigma _{a} -\sigma _{b } \right ) ^{2} + \left ( \sigma _{b} -\sigma _{c} \right ) ^{2} + \left ( \sigma _{c} -\sigma _{a } \right ) ^{2} } \right ] (30)
对于单轴受拉杆件来说，如这样理解‘泊松比’的概念开头所说，y、z方向应力为0，所以 \sigma _{b} =\sigma _{c} =0，那么公式（30）就有：
u_{d} =\frac{\sigma _{a} ^{2} }{6G} (31)
当 \sigma _{a} 达到材料屈服强度 \sigma _{Y} 时，有畸变能密度：
\left ( u_{d} \right ) _{Y} =\frac{\sigma _{Y} ^{2} }{6G}
如果公式（30）计算数值小于公式（31）的计算数值，就可以认为材料不会发生屈服：
\left ( \sigma _{a} -\sigma _{b} \right ) ^{2} +\left ( \sigma _{b} -\sigma _{c} \right ) ^{2}+\left ( \sigma _{c} -\sigma _{a} \right ) ^{2}< 2\sigma _{\gamma} ^{2} (32)
这就是最大畸变能密度理论，也被成为第四强度理论。
一开头咱就说纯剪切本质上是拉-压二向应力状态，\sigma _{a} =\tau ，\sigma _{b} =0 ，\sigma _{c} =-\tau
代入公式（32）有：
\tau ^{2} +\tau ^{2} +\left ( -\tau -\tau \right )^{ 2} < 2\sigma _{\gamma} ^{2}
\tau < \frac{\sigma _{Y} }{\sqrt{3} } \approx 0.58\sigma _{_{Y} } (33)
公式（33）是材料在纯剪切情况下不发生屈服的条件，换句话说 0.58\sigma _{_{Y} } 就是材料发生屈服的临界点。