动量定理与动量矩定理从某一角度揭示了质点系机械运动状态的变化规律，而动能定理则从功与能的角度来研究。
能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律，在机械运动中则表现为动能定理。不同于动量定理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题，它给出了动能的变化与功之间的关系，有时这是更为方便和有效的。同时，它还可以建立机械运动与其他形式运动之间的联系。
1 力的功
质点 M 在大小和方向都不变的力 \mathbf{F} 作用下，沿直线走过一段路程 s ，力 \mathbf{F} 在这段路程内所积累的效应用力的功来量度，以 W 记之，定义为
式中，\theta 为力 \mathbf{F} 与直线位移方向之间的夹角。功是代数量，在国际单位制中，功的单位为 \mathrm{J} (焦耳)，等于 1\mathrm{\;N} 的力在同方向 1\mathrm{\;m} 路程上做的功。
质点 M 在变力 \mathbf{F} 作用下沿曲线运动，如图 1 所示。力 \mathbf{F} 在无限小位移 \mathrm{d}\mathbf{r} 中可视为常力，经过的一小段弧长 \mathrm{d}s 可视为直线，\mathrm{d}\mathbf{r} 可视为沿点 M 的切线。在一无限小位移中力做的功称为元功，以 {\delta W} 记之 {}^{\text{①}} ，于是有
图 1
① 因为力的元功只在某些条件下才可能是函数 W 的全微分 \mathrm{d}W ，因而将一般力的元功写成 {\delta W} ，而不写成 \mathrm{d}W 。
力在全路程上做的功等于元功之和，即
上两式也可写成以下矢量点乘形式:
由上式可知，当力始终与质点位移垂直时，该力不做功。
在直角坐标系中，\mathbf{i}\text{、}\mathbf{j}\text{、}\mathbf{k} 为三根坐标轴的单位矢量，则
将以上两式代入式 (4)，得到作用力从 {M}_{1} 到 {M}_{2} 的过程中所做的功为
此式称为功的解析表达式。
1.1 几种常见力的功
(1)重力的功
设质点沿轨道由 {M}_{1} 运动到 {M}_{2} ，如图 2 所示。其重力 \mathbf{P} = m\mathbf{g} 在直角坐标轴上的投影为
图 2
应用式 (5)，重力做功为
可见重力做功仅与质点运动开始和末了位置的高度差 \left( {{z}_{1} - {z}_{2}}\right) 有关，与运动轨迹的形状无关。
对于质点系，设质点 i 的质量为 {m}_{i} ，运动始末的高度差为 \left( {{z}_{i1} - {z}_{i2}}\right) ，则全部重力做功之和为
由质心坐标公式，有
由此可得
式中，m 为质点系全部质量之和，\left( {{z}_{{c}_{1}} - {z}_{{c}_{2}}}\right) 为运动始末位置其质心的高度差。质心下降，重力做正功；质心上移，重力做负功。质点系重力做功仍与质心的运动轨迹形状无关。
(2)弹性力的功
物体受到弹性力的作用，作用点 A 的运动轨迹为图 3 所示的曲线 \overset{⏜}{{A}_{1}{A}_{2}} 。在弹簧的弹性极限内，弹性力的大小与其变形量 \delta 成正比，即
图 3
弹性力的方向总是指向未变形时的自然位置。比例系数 k 称为弹簧刚度系数。在国际单位制中，k 的单位为 \mathrm{N}/\mathrm{m} 或 \mathrm{N}/\mathrm{{mm}} 。
以点 O 为原点，点 A 的矢径为 \mathbf{r} ，其长度为 {r}_{0} 令沿矢径方向的单位矢量为 {\mathbf{e}}_{r} ，弹簧的自然长度为 {l}_{0} ，则弹性力为
当弹簧伸长时，r > {l}_{0} ，力 \mathbf{F} 的方向与 {\mathbf{e}}_{r} 的方向相反；当弹簧被压缩时，r < {l}_{0} ，力 \mathbf{F} 的方向与 {\mathbf{e}}_{r} 的方向一致。应用式 (4)，点 A 由 {A}_{1} 到 {A}_{2} 时，弹性力做功为
因为
于是，有
或
式中，{\delta }_{1} 与 {\delta }_{2} 分别为初始与末了位置弹簧的变形量。上述推导中运动轨迹 \overset{⏜}{{A}_{1}{A}_{2}} 可以是空间任意曲线。由此可见，弹性力做的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量 \delta 有关，与力作用点 A 的运动轨迹形状无关。由式 (8) 可见，当 {\delta }_{1} > {\delta }_{2} 时，弹性力做正功；{\delta }_{1} < {\delta }_{2} 时，弹性力做负功。
弹性力功的大小可由图 4 中所示的阴影面积表示，其横轴为弹簧变形量 \delta ，纵轴为弹性力的大小 F 。由图可见，当弹簧变形量由 {\delta }_{\mathrm{i}} 增为 {\delta }_{2} ，再由 {\delta }_{2} 增为 {\delta }_{3} 时，即使 {\delta }_{3} - {\delta }_{2} = {\delta }_{2} - {\delta }_{1} ，在此两段相同位移内，弹性力做功也是不相等的。
(3)定轴转动刚体上力的功
设力 \mathbf{F} 与力作用点 A 处的运动轨迹切线之间的夹角为 \theta ，如图 5 所示，则力 \mathbf{F} 在切线上的投影为
图 4
图 5
当刚体绕定轴 z 转动时，转角 \varphi 与弧长 s 的关系为
式中，R 为力作用点 A 到 z 轴的距离。力 \mathbf{F} 的元功为
因为 {F}_{1}R 等于力 F 对于 z 轴的力矩 {M}_{z} ，于是
力 \mathbf{F} 在刚体从角 {\varphi }_{1} 到 {\varphi }_{2} 转动过程中做的功为
如果刚体上作用一力偶，则力偶所做的功仍可用上式计算，其中 {M}_{z} 为力偶对 z 轴的力偶矩，也等于力偶矩矢 \mathbf{M} 在 z 轴上的投影。当 {M}_{z} 为常量时，{W}_{12} = {M}_{z}\left( {{\varphi }_{2} - {\varphi }_{1}}\right) 。
(4)任意运动刚体上力系的功
无论刚体做怎样的运动，力系的功总等于力系中所有各力做功的代数和。这是计算力系的功的常用的基本方法。
也可以用另一方法来计算力系的功。在静力学中已经讲过力系的简化，对刚体而言，力系的简化及等效原理对动力学也同样适用。将力系向刚体上任意一点简化，一般简化为一个力(其大小和方向等于力系的主矢 {F}_{\mathrm{R}}^{\prime } )及一个力偶(其力偶矩矢等于所有各力对该点的主矩 {M}_{0} )。由力系等效原理知，这个力与力偶所做的元功就等于力系中所有各力所做元功的代数和，即
其中，{\delta W} 为力系的元功；点 C 可以是刚体上任意一点，但一般取为质心；\mathrm{d}{\mathbf{r}}_{c} 为点 C 的位移增量；\mathrm{d}\varphi 为刚体的转角增量，即 \mathrm{d}\varphi = \omega \mathrm{d}t 。
特别地，当刚体做平面运动时，力系的元功为
其中，{\mathbf{F}}_{\mathrm{R}}^{\prime } 为力系主矢，{M}_{C} 为力系对质心的主矩。刚体质心 C 由 {C}_{1} 移到 {C}_{2} ，同时刚体又由 {\varphi }_{1} 转到 {\varphi }_{2} 时，力系做功为
可见，平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。
如果点 C 不是质心，而是刚体上任意一点，式 (11)、式 (12) 和式 (12′) 依然成立。
应用式(11)、式(12)和式(12’)时，应注意哪些力不做功。在进行力系简化时，不做功的力可以不要，这样就简化了计算。
1.2 内力的功
作用于质点系的力既有外力，也有内力，在某些情形下，内力虽然等值而反向，但是所做功的和并不等于零。例如，由两个相互吸引的质点 {M}_{1} 和 {M}_{2} 组成的质点系，两质点相互作用的力 {\mathbf{F}}_{12} 和 {\mathbf{F}}_{21} 是一对内力，如图 6 所示。虽然内力的矢量和等于零，但是当两质点相互趋近或离开时，两力所做功的和都不等于零。又如，汽车发动机的气缸内膨胀的气体对活塞和气缸的作用力都是内力，但内力功的和不等于零，内力的功使汽车的动能增加。 此外，如机器中轴与轴承之间相互作用的摩擦力对于整个机器是内力，它们做负功，总和为负。
图 6
同时也应注意，在不少情况下，内力所做功的和等于零。例如，刚体内两质点相互作用的力是内力，两力大小相等、方向相反。因为刚体上任意两点的距离保持不变，所以沿这两点连线的位移必定相等，其中一力做正功，另一力做负功，这一对力所做的功的和等于零。刚体内任一对内力所做的功的和都等于零。于是有，刚体所有内力做功的和等于零。
不可伸长的柔绳、钢索等所有内力做功的和也等于零。
1.3 约束力的功
对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束，其约束力都垂直于力作用点的位移，约束力不做功。又如光滑固定铰支座、固定端等约束，显然其约束力也不做功。 这类约束称为理想约束。
光滑铰链、不可伸长的细绳等作为系统内的约束时，其中单个的约束力不一定不做功，但一对约束力做功之和等于零。如图 7a 所示的铰链，铰链处相互作用的约束力 \mathbf{F} 和 {\mathbf{F}}^{\prime } 是等值反向的，它们在铰链中心的任何位移 \mathrm{d}\mathbf{r} 上做功之和都等于零。又如图 7b 中，跨过光滑支持轮的细绳对系统中两个质点的拉力 {F}_{1} = {F}_{2} ，如绳索不可伸长，则两端的位移 \mathrm{d}{\mathbf{r}}_{1} 和 \mathrm{d}{\mathbf{r}}_{2} 沿绳索的投影必相等，因而两约束力 {\mathbf{F}}_{1} 和 {\mathbf{F}}_{2} 做功之和等于零。
图 7
一般情况下，滑动摩擦力与物体的相对位移反向，摩擦力做负功。但当轮子在固定面上只滚不滑时，接触点为速度瞬心，滑动摩擦力作用点速度为零，此时滑动摩擦力不做功。
例 1 图 8 所示均质圆盘质量为 m 、半径为 R ，其外缘上缠绕很多圈无重细绳，绳头上用常力 \mathbf{F} 作用使圆盘沿水平直线纯滚动。求当盘心 C 走过路程 s 时圆盘所受力系的功。
图 8
解: 圆盘受力如图 8 所示。其中重力 \mathbf{P} 不做功。由于圆盘做纯滚动，法向约束力 {\mathbf{F}}_{\mathrm{N}} 及静摩擦力 {F}_{\mathrm{s}} 都作用在速度瞬心上，因此都不做功。
由于只有力 \mathbf{F} 做功，因此只需将力 \mathbf{F} 简化到质心 C 即可。简化结果为一个力 {\mathbf{F}}^{\prime } = \mathbf{F} 及一个力偶，其力偶矩大小为 {M}_{c} = F \cdot R (顺时针方向)。由于 \varphi = s/R ，因而总功为
W = {F}^{\prime } \cdot s + {M}_{c} \cdot \varphi = {2Fs}如果把全部力 (含不做功的力) 都向质心 C 简化，则总功为
W = \left( {F - {F}_{\mathrm{s}}}\right) s + \left( {{FR} + {F}_{\mathrm{n}}R}\right) \varphi = {2Fs}计算结果与前面相同，但计算量大，因此不做功的力可以不要。
由于力系的总功等于各力做功的代数和，因此单独计算各力的功再求代数和即可，不必向质心 C 简化。这一方法常常更方便。本题只有力 \mathbf{F} 做功，当盘心 C 走过路程 s 时，力 \mathbf{F} 的作用点 (绳头) 走过的路程为 {2s} ，因此做功为
W = {2Fs}显然用这一方法计算功最简单。需要注意，功是作用力与受力物体上的作用点位移的点积。
例 2 图 9 所示系统中，轮 II 的小半径上缠绕细绳吊挂一重物，轮 I 、轮 II 之间不打滑 (纯滚动)，轮 \mathrm{I} 上作用力偶矩为 M 的力偶，试分析两轮之间的接触点 A 处的摩擦力是否做功。
图 9
解: 轮 II 与轮 I 的受力图分别如图 9b 及图 9c 所示 (没画轴承处约束力)。研究轮 II ，其所受摩擦力 \mathbf{F} 在空间是不动的，作用点永远在空间点 A ，但摩擦力 \mathbf{F} 的功不为零。这是因为元功是力与受力物体上作用点位移的点积，而轮 II 是转动的，其上的受力作用点的位移为 R\mathrm{\;d}{\varphi }_{2} ，方向向下。这样摩擦力 F 的元功为 {FR}\mathrm{\;d}{\varphi }_{2} 。当轮 \mathrm{{II}} 转过 {\varphi }_{2} 角时，其功为 {FR}{\varphi }_{2} (设 F 为常量)。
轮 \mathrm{I} 所受摩擦力 {\mathbf{F}}^{\prime } 的方向向上，但轮 \mathrm{I} 上的受力作用点的位移元为 r\mathrm{\;d}{\varphi }_{1} ，方向向下。于是摩擦力 {\mathbf{F}}^{\prime } 的元功为 - \operatorname{Frd}{\varphi }_{1} 。当轮 \mathrm{I} 转过 {\varphi }_{1} 角时，其功为 - \operatorname{Fr}{\varphi }_{1} 。
可见摩擦力 F 做正功，{F}^{\prime } 做负功。由于是纯滚动，因此有 r{\varphi }_{1} = R{\varphi }_{2} ，又由于 F = {F}^{\prime } ，因此这两个摩擦力做功之和为零。这表明，当我们取整体为研究对象时，A 处的摩擦力不做功。
当两轮之间不是纯滚动，而出现打滑，这时两个摩擦力 \mathbf{F} 与 {\mathbf{F}}^{\prime } 做功之和将不再为零(因为 \left. {r{\varphi }_{1} \neq R{\varphi }_{2}}\right) ，因此研究整体时也要计入摩擦力的功。
2 质点和质点系的动能
2.1 质点的动能
设质点的质量为 m ，速度为 v ，则质点的动能为
动能是标量，恒取正值。在国际单位制中动能的单位为 \mathrm{J} (焦耳)。
动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种不同的度量。
2.2 质点系的动能
质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即
刚体是由无数质点组成的质点系。刚体做不同的运动时，各质点的速度分布不同，刚体的动能应按照刚体的运动形式来计算。
(1)平移刚体的动能
刚体做平移时，各点的速度都相同，可以质心速度 {v}_{c} 为代表，于是得平移刚体的动能为
或写成
式中，m = \sum {m}_{i} 是刚体的质量。
(2)定轴转动刚体的动能
刚体绕定轴 z 转动时，如图 10 所示，其中任一点 {m}_{i} 的速度为
式中，\omega 是刚体的角速度，{r}_{i} 是质点 {m}_{i} 到转轴的距离。于是绕定轴转动刚体的动能为
其中，\sum {m}_{i}{r}_{i}^{2} = {J}_{z} ，是刚体对于 z 轴的转动惯量，于是得
(3)平面运动刚体的动能
取刚体质心 C 所在的平面图形，如图 11 所示。设图形中的点 P 是某瞬时的速度瞬心，\omega 是平面图形转动的角速度。此瞬时，刚体上各点速度的分布与绕点 P 做定轴转动的刚体相同，于是做平面运动的刚体的动能为
式中，{J}_{P} 是刚体对于瞬心轴的转动惯量。然而在不同时刻，刚体以不同的点作为瞬心，因此用上式计算动能在有些情况下是不方便的。
图 10
图 11
如点 C 为刚体的质心，根据计算转动惯量的平行轴定理有
式中，m 为刚体的质量，d = {CP}，{J}_{c} 为刚体对质心轴的转动惯量。代入计算动能的公式中，得
因 {d\omega } = {v}_{c} ，于是得
即做平面运动的刚体的动能，等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能的和。
(4)任意运动质点系的动能
对任意质点系 (可以是非刚体) 的任意运动，总有
其中，{T}^{\prime } = \frac{1}{2}\sum {m}_{i}{v}_{ir}^{2} ，为质点系相对于以质心为基点的平移参考系的动能。
上式所表达的就是柯尼希定理: 质点系在绝对运动中的动能等于它随质心平移动能与相对于质心平移参考系动能的和。这里再一次看到了质心在动力学中的重要地位。
例 3 曲柄连杆滑块机构如图 12a 所示。已知: {OA} = {AB} = r，\omega 为常数，均质曲柄 {OA} 及连杆 {AB} 的质量均为 m ，滑块 B 的质量为 \frac{1}{2}m 。图示位置时连杆 {AB} 水平、曲柄 {OA} 铅垂，试求该瞬时系统的动能。
图 12
解:曲柄连杆滑块机构共含有 3 个构件，曲柄 {OA} 做定轴转动，连杆 {AB} 做平面运动，滑块 B 做平移。为了计算系统动能，应分别根据各构件的运动计算各自动能。
曲柄 {OA} 动能为
{T}_{OA} = \frac{1}{2}{J}_{O}{\omega }^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}m{r}^{2} \cdot {\omega }^{2} = \frac{1}{6}m{r}^{2}{\omega }^{2}由已知条件有
{v}_{A} = \omega \cdot {OA} = {\omega r}方向如图 12b 所示。
如图 12b 所示，连杆 {AB} 的速度瞬心为 P ，有
{v}_{A} = {\omega r} = {\omega }_{AB} \cdot {PA} = {\omega }_{AB}r解得连杆 {AB} 的角速度为
{\omega }_{AB} = \omega则有
{v}_{B} = {\omega }_{AB} \cdot {PB} = \sqrt{2}{\omega r}滑块 B 的动能为
{T}_{B} = \frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}m \cdot {\left( \sqrt{2}\omega r\right) }^{2} = \frac{1}{2}m{r}^{2}{\omega }^{2}连杆 {AB} 的质心速度为
{v}_{C} = {\omega }_{AB} \cdot {PC} = \frac{\sqrt{5}}{2}{\omega r}连杆 {AB} 的动能为
{T}_{AB} = \frac{1}{2}m{v}_{C}^{2} + \frac{1}{2}{J}_{C}{\omega }_{AB}^{2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {\left( \frac{\sqrt{5}}{2}\omega r\right) }^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12}m{r}^{2} \cdot {\omega }^{2} = \frac{2}{3}m{r}^{2}{\omega }^{2}则该瞬时系统功能为
T = {T}_{OA} + {T}_{B} + {T}_{AB} = \frac{1}{6}m{r}^{2}{\omega }^{2} + \frac{1}{2}m{r}^{2}{\omega }^{2} + \frac{2}{3}m{r}^{2}{\omega }^{2} = \frac{4}{3}m{r}^{2}{\omega }^{2}
3 动能定理
3.1 质点的动能定理
取质点运动微分方程的矢量形式:
在方程两边点乘 \mathrm{d}\mathbf{r} ，得
因 \mathrm{d}\mathbf{r} = \mathbf{v}\mathrm{d}t ，于是上式可写成
或
式(17)称为质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
积分上式，得
或
式中，{v}_{1} 、 {v}_{2} 分别为质点始、末位置的速度。这就是质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力所做的功。
由式 (17) 或式 (18) 可见，力做正功，质点动能增加；力做负功，质点动能减小。
3.2 质点系的动能定理
质点系内任一质点，质量为 {m}_{i} ，速度为 {v}_{i} ，根据质点动能定理的微分形式，有
式中，\delta {W}_{i} 表示作用于这个质点的力 {\mathbf{F}}_{i} 所做的元功。
设质点系有 n 个质点，对于每个质点都可列出一个如上的方程，将这 n 个方程相加，得
或
式中，\sum \frac{1}{2}{m}_{i}{v}_{i}^{2} 是质点系的动能，以 T 表示。于是上式可写成
式(19)为质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所做的元功的和。
对上式积分，得
式中，{T}_{1} 和 {T}_{2} 分别是质点系在某一段运动过程的起点和终点的动能。式 (20) 为质点系动能定理的积分形式: 质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所做功的和。
例 4 均质圆盘半径为 R ，质量为 m ，外缘上缠绕无重细绳，绳头水平地固定在墙上，如图 13a 所示。盘心 C 作用一较大的水平力 \mathbf{F} ，使盘心 C 向右加速运动。圆盘与水平地面间动摩擦因数为 f ，力 F 为常量，初始静止。求当盘心 C 走过路程 s 时，圆盘的角速度、角加速度及盘心 C 的加速度。
图 13
解: 由于绳不可伸长，因此圆盘的运动如同沿水平绳索做纯滚动。点 A 为速度瞬心，有
{v}_{c} = {\omega R}圆盘动能为
{T}_{1} = 0{T}_{2} = \frac{1}{2}m{v}_{C}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{m{R}^{2}}{2} \cdot {\omega }^{2} = \frac{3}{4}m{v}_{C}^{2}圆盘受力图如图 13b 所示。由于绳拉力 {\mathbf{F}}_{\mathrm{T}} 作用在速度瞬心，故不做功，{mg} 与 {\mathbf{F}}_{\mathrm{N}} 亦不做功 (因为力与受力点位移垂直)。当盘心 C 走过路程 s 时，力 \mathbf{F} 的功为 \mathbf{F}s 。动摩擦力 {\mathbf{F}}_{\mathrm{d}} 在空间的位移是 s ，但圆盘上受力作用点的位移不是 s ，而是 {2s} ，它做负功，其中 {F}_{\mathrm{d}} = {mg}{f}_{\mathrm{o}} 因此，有
\sum W = {Fs} - {2mgfs}由 {T}_{2} - {T}_{1} = \sum W ，得
\frac{3}{4}m{v}_{C}^{2} = {Fs} - {2mgfs} \tag{a}解得
{v}_{c} = 2\sqrt{\frac{s}{3m}\left( {F - {2mgf}}\right) }则圆盘的角速度为
\omega = \frac{{v}_{c}}{R} = \frac{2}{R}\sqrt{\frac{s}{3m}\left( {F - {2mgf}}\right) }式 (a) 对任意瞬时都成立，对时间求导得
2 \times \frac{3}{4}m{v}_{c} \cdot {a}_{c} = \left( {F - {2mgf}}\right) {v}_{c}解得盘心 C 的加速度为
{a}_{c} = \frac{2}{3m}\left( {F - {2mgf}}\right)则圆盘的角加速度为
\alpha = \frac{{a}_{c}}{R} = \frac{2}{3mR}\left( {F - {2mgf}}\right)本题中力的功也可按如下方法计算。将力系中做功的力向盘心 C (质心) 简化得到一个大小为 F - {F}_{\mathrm{d}} 的力和力偶矩为 {F}_{\mathrm{d}}R 的力偶，于是有
\sum W = \left( {F - {F}_{\mathrm{d}}}\right) s - {F}_{\mathrm{d}}R \cdot \frac{s}{R} = {Fs} - 2{F}_{\mathrm{d}}s
例 5 卷扬机如图 14 所示。鼓轮在常力偶 M 的作用下将圆柱由静止沿斜坡上拉。 已知鼓轮的半径为 {R}_{1} ，质量为 {m}_{1} ，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为 {R}_{2} ，质量为 {m}_{2} ，质量均匀分布。设斜坡的倾角为 \theta ，圆柱只滚不滑。求圆柱中心 C 经过路程 s 时的速度与加速度。
图 14
解: 圆柱和鼓轮一起组成质点系。作用于该质点系的外力有: 重力 {m}_{1}\mathbf{g} 和 {m}_{2}\mathbf{g} 、外力偶 M 、 水平轴的约束力 {\mathbf{F}}_{{O}_{x}} 和 {\mathbf{F}}_{{O}_{y}} ，以及斜面对圆柱的法向约束力 {\mathbf{F}}_{\mathrm{N}} 和静摩擦力 {\mathbf{F}}_{\mathrm{a}} 。
因为点 O 没有位移，所以力 {\mathbf{F}}_{{O}_{x}}\text{、}{\mathbf{F}}_{{O}_{y}} 和 {m}_{1}\mathbf{g} 所做的功等于零；圆柱沿斜面只滚不滑，速度瞬心点 D 的速度为零，因此作用于点 D 的法向约束力 {\mathbf{F}}_{\mathrm{N}} 和静摩擦力 {\mathbf{F}}_{\mathrm{s}} 不做功，且内力做功为零。 主动力所做的功为
{W}_{12} = {M\varphi } - {m}_{2}g\sin \theta \cdot s质点系的动能为
{T}_{1} = 0，\;{T}_{2} = \frac{1}{2}{J}_{1}{\omega }_{1}^{2} + \frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{c}^{2} + \frac{1}{2}{J}_{C}{\omega }_{2}^{2}式中，{J}_{1}\text{、}{J}_{C} 分别为鼓轮对于中心轴 O 、圆柱对于过质心 C 的轴的转动惯量，即
{J}_{1} = {m}_{1}{R}_{1}^{2}，\;{J}_{C} = \frac{1}{2}{m}_{2}{R}_{2}^{2}{\omega }_{1} 和 {\omega }_{2} 分别为鼓轮和圆柱的角速度，即
{\omega }_{1} = \frac{{v}_{c}}{{R}_{1}}，\;{\omega }_{2} = \frac{{v}_{c}}{{R}_{2}}于是有
{T}_{2} = \frac{{v}_{c}^{2}}{4}\left( {2{m}_{1} + 3{m}_{2}}\right)由质点系的动能定理，得
\frac{{v}_{C}^{2}}{4}\left( {2{m}_{1} + 3{m}_{2}}\right) - 0 = {M\varphi } - {m}_{2}g\sin \theta \cdot s \tag{a}以 \varphi = \frac{s}{{R}_{1}} 代入，解得
{v}_{c} = 2\sqrt{\frac{\left( {M - {m}_{2}g{R}_{1}\sin \theta }\right) s}{{R}_{1}\left( {2{m}_{1} + 3{m}_{2}}\right) }}系统运动过程中，速度 {v}_{c} 与路程 s 都是时间的函数，将式 (a) 两端对时间 t 求一阶导数，有
\frac{1}{2}\left( {2{m}_{1} + 3{m}_{2}}\right) {v}_{C}{a}_{C} = M\frac{{v}_{C}}{{R}_{1}} - {m}_{2}g\sin \theta \cdot {v}_{C} \tag{b}求得圆柱中心 C 的加速度为
{a}_{c} = \frac{2\left( {M - {m}_{2}g{R}_{1}\sin \theta }\right) }{\left( {2{m}_{1} + 3{m}_{2}}\right) {R}_{1}}
例 6 所有已知条件同前例14，系统仍处于水平面内，初始静止。不同之处在于所施加的力偶矩为 M 的顺时针转向的力偶不是作用在杆 {O}_{1}A 上，而是作用在杆 {OB} 上，如图 15a 所示，该力偶为常力偶，在它的作用下，系统运动到图 15b (图中杆 {OA} 未画出) 所示位置，即杆 {OB} 顺时针转过 {90}^{ \circ } 。求该瞬时圆盘 C 的角速度。
解:分析整个系统，所有约束力做功为零，又由于系统处于水平面内，重力做功也为零，则系统所受力做功为
\sum W = M \cdot \frac{\pi }{2}初瞬时系统动能为 {T}_{1} = 0 。
由于圆盘 C 做纯滚动，有
{\omega }_{c} = \frac{{v}_{c}}{R}图示瞬时杆 {BC} 的速度瞬心为点 B ，则有
{\omega }_{BC} = \frac{{v}_{C}}{BC} = \frac{{v}_{C}}{2R}图 15
则系统功能为
{T}_{2} = \frac{1}{2}m{v}_{C}^{2} + \frac{1}{2}{J}_{C}{\omega }_{C}^{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}m{\left( 2R\right) }^{2}{\omega }_{BC}^{2}= \frac{1}{2}m{v}_{c}^{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}m{R}^{2} \cdot \frac{{v}_{c}^{2}}{{R}^{2}} + \frac{1}{6}m{\left( 2R\right) }^{2} \cdot \frac{{v}_{c}^{2}}{4{R}^{2}}= \frac{11}{12}m{v}_{c}^{2}由动能定理有
\frac{11}{12}m{v}_{C}^{2} = M \cdot \frac{\pi }{2}解得
{v}_{C} = \sqrt{\frac{6\pi M}{11m}}，\;{\omega }_{C} = \frac{{v}_{C}}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{6\pi M}{11m}}
4 功率 · 功率方程 · 机械效率
4.1 功率
在工程中，需要知道一部机器在单位时间内能做多少功。单位时间内，力所做的功称为功率，以 P 表示。
功率的数学表达式为
因为 {\delta W} = \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} ，因此功率可写成
式中，\mathbf{v} 是力 \mathbf{F} 作用点的速度。功率等于切向力与力作用点速度的乘积。每台机床、每部机器能够输出的最大功率是一定的，因此用机床加工时，如果切削力较大，必须选择较小的切削速度。又如汽车上坡时，由于需要较大的驱动力，这时驾驶员须换用低速挡，以求在发动机功率一定的条件下，产生大的驱动力。
作用在转动刚体上的力的功率为
式中，{M}_{z} 是力对转轴 z 的矩，\omega 是角速度。即作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积。
在国际单位制中，每秒力所做的功等于 1\mathrm{\;J} 时，其功率定为 1\mathrm{\;W} (瓦特) \left( {1\mathrm{W} = 1\mathrm{J}/\mathrm{s}}\right) 。工程中常用 \mathrm{{kW}} (千瓦) 做单位，{1000}\mathrm{W} = 1\mathrm{{kW}} (千瓦)。
4.2 功率方程
取质点系动能定理的微分形式，两端除以 \mathrm{d}t ，得
上式称为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。
功率方程常用来研究机器在工作时能量的变化和转化的问题。例如，车床工作时，电场对电机转子作用的力做正功，使转子转动，电场力的功率称为输入功率。 由于带传动、齿轮传动和轴承与轴之间都有摩擦，摩擦力做负功，使一部分机械能转化为热能；传动系统中的零件也会相互碰撞，也要损失一部分功率。这些功率都取负值，称为无用功率或损耗功率。车床切削工件时，切削阻力对夹持在车床主轴上的工件做负功，这是车床加工零件必须付出的功率，称为有用功率或输出功率。
每部机器的功率都可分为上述三部分。在一般情形下，式 (23) 可写成
或
4.3 机械效率
工程中，要用到有效功率的概念，有效功率等于 {P}_{\text{有用 }} + \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{\;d}t} ，有效功率与输入功率的比值称为机器的机械效率，用 \eta 表示，即
由上式可知，机械效率 \eta 表明机器对输入功率的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一。显然，一般情况下，\eta < 1 。
一部机器的传动部分一般由许多零件组成。如图 16 所示系统，轴承与轴之间、带与轮之间、齿轮与齿轮之间各级传动都因摩擦而消耗功率，各级传动都有各自的机械效率。设 \mathrm{I} - \mathrm{{II}} 、 \mathrm{{II}} - \mathrm{{III}} 、 \mathrm{{III}} - \mathrm{{IV}} 各级的机械效率分别为 {\eta }_{1} 、 {\eta }_{2} 、 {\eta }_{3} ，则 \mathrm{I} -\mathrm{{IV}} 的总机械效率为
图 16
对于有 n 级传动的系统，总机械效率等于各级机械效率的连乘积，即
例 7 车床的电动机功率 {P}_{\lambda } = {5.4}\mathrm{\;{kW}} 。由于传动零件之间的摩擦，损耗功率占输入功率的 {30}\% 。如工件的直径 d = {100}\mathrm{\;{mm}} ，转速 n = {42}\mathrm{\;r}/\mathrm{{min}} ，允许切削力的最大值为多少? 若工件的转速改为 {n}^{\prime } = {112}\mathrm{r}/\mathrm{{min}} ，允许切削力的最大值为多少?
解: 由题意知，车床的输入功率为 {P}_{\lambda } = {5.4}\mathrm{\;{kW}} ，损耗的无用功率 {P}_{\text{无用 }} = {P}_{\lambda } \times {30}\% = {1.62}\mathrm{\;{kW}} 。 当工件匀速转动时，动能不变，有用功率为
{P}_{\text{有用 }} = {P}_{\lambda } - {P}_{\text{无用 }} = {3.78}\mathrm{\;{kW}}设切削力为 \mathbf{F} ，切削速度为 \mathbf{v} ，则
{P}_{\text{有用 }} = {Fv} = F\frac{d}{2}\frac{\pi n}{30}即
F = \frac{60}{\pi dn}{P}_{\text{有用 }}当 n = {42}\mathrm{r}/\mathrm{{min}} 时，允许的最大切削力为
F = \frac{{60} \times {3.78}\mathrm{\;{kW}}}{\pi \times {0.1}\mathrm{\;m} \times {42}\mathrm{\;r}/\mathrm{{min}}} = {17.19}\mathrm{{kN}}当 {n}^{\prime } = {112}\mathrm{r}/\mathrm{{min}} 时，允许的最大切削力为
F = \frac{{60} \times {3.78}\mathrm{\;{kW}}}{\pi \times {0.1}\mathrm{\;m} \times {112}\mathrm{\;r}/\mathrm{{min}}} = {6.45}\mathrm{{kN}}
功率方程给出了动能变化率与功率之间的关系。动能与速度有关，其变化率含有加速度项，因而功率方程也就给出了系统的加速度与作用力之间的关系。由于功率方程中不含不做功的约束力，因而用功率方程求解系统的加速度、建立系统的运动微分方程是很方便的。
例 8 图 17 中，物块质量为 m ，用不计质量的细绳跨过滑轮与弹簧相联。弹簧原长为 {l}_{0} ，刚度系数为 k ，质量不计。滑轮半径为 R ，转动惯量为 J 。不计轴承摩擦，试建立此系统的运动微分方程。
图 17
解: 如弹簧由自然位置拉长任一长度 s ，滑轮转过 \varphi 角，物块下降 s ，显然有 s = {R\varphi } 。此时系统的动能为
T = \frac{1}{2}m{\left( \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t}\right) }^{2} + \frac{1}{2}J{\left( \frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t}\right) }^{2} = \frac{1}{2}\left( {m + \frac{J}{{R}^{2}}}\right) {\left( \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t}\right) }^{2}重物下降速度 v = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t} ，重力功率为 {mg}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t} ；弹性力大小为 {ks} ，其功率为 - {ks}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t} 。代入功率方程，得
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{\;d}t} = \left( {m + \frac{J}{{R}^{2}}}\right) \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t}\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = {mg}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t} - {ks}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t}两端分别消去 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t} ，得到对于坐标 s 的运动微分方程，即
\left( {m + \frac{J}{{R}^{2}}}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = {mg} - {ks}如此系统静止时弹簧伸长量为 {\delta }_{0} ，有 {mg} = k{\delta }_{0} 。以平衡位置为参考点，物体下降 x 时弹簧伸长量为 s = {\delta }_{0} + x ，代入上式，得
\left( {m + \frac{J}{{R}^{2}}}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = {mg} - k{\delta }_{0} - {kx} = - {kx}移项后，得到对于坐标 x 的运动微分方程，即
\left( {m + \frac{J}{{R}^{2}}}\right) \frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} + {kx} = 0
这是系统自由振动微分方程的标准形式。由上述计算可见，弹簧的倾斜角度 \theta 与系统运动微分方程无关。
5 势力场 · 势能 · 机械能守恒定律
5.1 势力场
如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场。例如，物体在地球表面的任何位置都要受到一个确定的重力的作用，我们称地球表面的空间为重力场；又如星球在太阳周围的任何位置都要受到太阳的引力的作用，引力的大小和方向取决于此星球相对于太阳的位置，称太阳周围的空间为太阳引力场；等等。
如果物体在力场内运动，作用于物体的力所做的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的运动轨迹形状无关，这种力场称为势力场，或保守力场。在势力场中，物体受到的力称为有势力或保守力。重力、弹性力做的功都有这个特点，因此它们都是保守力。可以证明，万有引力也是保守力。重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场。
5.2 势能
在势力场中，质点从点 M 运动到任选的点 {M}_{0} ，有势力所做的功称为质点在点 M 相对于点 {M}_{0} 的势能。以 V 表示为
点 {M}_{0} 的势能等于零，称它为零势能点。在势力场中，势能的大小是相对于零势能点而言的。零势能点 {M}_{0} 可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。
现在计算几种常见的势能。
(1)重力场中的势能
重力场中，以铅垂轴为 z 轴，{z}_{0} 处为零势能点。质点于 z 坐标处的势能 V 等于重力 {mg} 由 z 到 {z}_{0} 处所做的功，即
(2)弹性力场中的势能
设弹簧的一端固定，另一端与物体连接，弹簧的刚度系数为 k 。以变形量为 {\delta }_{0} 处为零势能点，则变形量为 \delta 处的弹簧势能 V 为
如果取弹簧的自然位置为零势能点，则有 {\delta }_{0} = 0 ，于是得
(3)万有引力场中的势能
设质量为 {m}_{1} 的质点受质量为 {m}_{2} 的物体的万有引力 \mathbf{F} 作用，如图 18 所示。
取点 {A}_{0} 为零势能点，则质点在点 A 的势能为
图 18
式中，G 为引力常量，{\mathbf{e}}_{r} 是质点的矢径方向的单位矢量；由图 18 可见，{\mathbf{e}}_{r} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r ，为矢径 \mathbf{r} 长度的增量。 设 {\mathbf{r}}_{1} 是零势能点的矢径，于是有
如果选取的零势能点在无穷远处，即 {r}_{1} = \infty ，于
是得
上述计算表明，万有引力做功只取决于质点运动的初始位置 A 和终了位置 {A}_{0} ，与点的运动轨迹形状无关，万有引力场的确为势力场。
如质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能点。质点系的零势能位置是各质点都处于其零势能点的一组位置。质点系从某位置到其零势能位置的运动过程中，各有势力做功的代数和称为此质点系在该位置的势能。
例如，质点系在重力场中，取各质点的 z 坐标为 {z}_{10}，{z}_{20}，\cdots ，{z}_{n0} 时为零势能位置；则质点系各质点的 z 坐标为 {z}_{1}，{z}_{2}，\cdots ，{z}_{n} 时的势能为
与质点系重力做功式 (7) 相似，质点系重力势能可写为
其中，m 为质点系全部质量，{z}_{C} 为质心的 z 坐标，{z}_{C0} 为零势能位置质心的 z 坐标。
又如一质量为 m 、长为 l 的均质杆 {AB}，A 端为铰链支座，B 端由无重弹簧拉住，并于水平位置平衡，如图 19 所示。此时弹簧已有伸长量 {\delta }_{0} 。如弹簧刚度系数为 k ，由平衡方程 \sum {M}_{A}\left( \mathbf{F}\right) = 0 ，有
图 19
此系统所受重力及弹性力都是有势力。如重力以杆 {AB} 的水平位置处为零势能位置，弹簧以自然位置 O 为零势能位置，则杆 {AB} 于微小摆角 \varphi 处，重力势能为 - {mg\varphi l}/2 ，弹簧势能为 \frac{k}{2}{\left( {\delta }_{0} + \varphi l\right) }^{2} 。由 {\delta }_{0} = \frac{mg}{2k} ，总势能为
如取杆 {AB} 的平衡位置为系统的零势能位置，杆于微小摆角 \varphi 处，系统相对于零势能位置的势能应改为
注意到 {\delta }_{0} = \frac{mg}{2k} ，可得
可见，对于不同的零势能位置，系统的势能是不相同的。对于常见的重力-弹性力系统，以其平衡位置为零势能位置，往往更简便。
质点系在势力场中运动，有势力的功可通过势能计算。设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点 {M}_{1} 到点 {M}_{2} ，如图 20 所示，该力所做的功为 {W}_{12} 。 若取点 {M}_{0} 为零势能点，则从点 {M}_{1} 到点 {M}_{0} 和从点 {M}_{2} 到点 {M}_{0} ，有势力所做的功分别为点 {M}_{1} 和点 {M}_{2} 位置的势能 {V}_{1} 和 {V}_{2} 。因有势力的功与运动轨迹形状无关，而由点 {M}_{1} 经点 {M}_{2} 到达点 {M}_{0} 时，有势力的功为
注意到 {W}_{10} = {V}_{1}，{W}_{20} = {V}_{2} ，于是得
即有势力所做的功等于质点系在运动过程的初始与终了位置的势能的差。
图 20
5.3 机械能守恒定律
质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能。设质点系在运动过程的初始和终了瞬时的动能分别为 {T}_{1} 和 {T}_{2} ，所受的力在该过程中所做的功为 {W}_{12} ，根据动能定理有
如系统运动中，只有有势力做功，而有势力的功可用势能计算，即
移项后得
上式就是机械能守恒定律的数学表达式，即质点系仅在有势力的作用下运动时，其机械能保持不变。此类质点系称为保守系统。
如果质点系还受到非保守力的作用，称为非保守系统，非保守系统的机械能是不守恒的。设保守力所做的功为 {W}_{12} ，非保守力所做的功为 {W}_{12}^{\prime } ，由动能定理有
因 {W}_{12} = {V}_{1} - {V}_{2} ，于是有
或
当质点系受到摩擦阻力等力作用时，{W}_{12}^{\prime } 是负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为机械能耗散；当质点系受到非保守的主动力作用时，如果 {W}_{12}^{\prime } 是正功，则质点系在运动过程中机械能增加，这时外界对系统输入了能量。
从能量观点来看，无论什么系统，总能量是不变的，机械能的增或减，只说明了在这过程中机械能与其他形式的能量 (如热能、电能等) 有了相互的转化而已。
例 9 如图 21 所示的鼓轮匀速转动，使绕在鼓轮上钢索下端的重物以 v = {0.5}\mathrm{\;m}/\mathrm{s} 匀速下降，重物质量为 m = {250}\mathrm{\;{kg}} 。设当鼓轮突然被卡住时，钢索的刚度系数 k = {3.35} \times {10}^{6}\mathrm{\;N}/\mathrm{m} 。求此后钢索的最大张力。
图 21
解:鼓轮匀速转动时，重物处于平衡状态，临卡住的前一瞬时钢索的伸长量 {\delta }_{\mathrm{{st}}} = \frac{mg}{k} ，钢索的张力 F = k{\delta }_{\mathrm{{st}}} = {mg} = {2.45}\mathrm{{kN}} 。
当鼓轮被卡住后，由于惯性，重物将继续下降，钢索继续伸长，钢索的弹性力逐渐增大，重物的速度逐渐减小。当速度等于零时，弹性力达到最大值。
因重物只受重力和弹性力的作用，因此系统的机械能守恒。取重物平衡位置 I 为重力和弹性力的零势能位置，在 II 位置处张力最大。则在 \mathrm{I} 、 \mathrm{{II}} 两位置系统的势能分别为
{V}_{1} = 0{V}_{2} = \frac{k}{2}\left( {{\delta }_{\max }^{2} - {\delta }_{\mathrm{{st}}}^{2}}\right) - {mg}\left( {{\delta }_{\max } - {\delta }_{\mathrm{{st}}}}\right)因 {T}_{1} = \frac{1}{2}m{v}^{2}，{T}_{2} = 0 ，由机械能守恒定律有
\frac{1}{2}m{v}^{2} + 0 = 0 + \frac{k}{2}\left( {{\delta }_{\max }^{2} - {\delta }_{\mathrm{{st}}}^{2}}\right) - {mg}\left( {{\delta }_{\max } - {\delta }_{\mathrm{{st}}}}\right)注意到 k{\delta }_{\mathrm{{st}}} = {mg} ，上式可改写为
{\delta }_{\max }^{2} - 2{\delta }_{\mathrm{{st}}}{\delta }_{\max } + \left( {{\delta }_{\mathrm{{st}}}^{2} - \frac{{v}^{2}}{g}{\delta }_{\mathrm{{st}}}}\right) = 0解得
{\delta }_{\max } = {\delta }_{\text{st }}\left( {1 \pm \sqrt{\frac{{v}^{2}}{g{\delta }_{\text{st }}}}}\right)由于 {\delta }_{\max } 应大于 {\delta }_{\text{st }} ，因此上式括号内应取正号。
钢索的最大张力为
{F}_{\max } = k{\delta }_{\max } = k{\delta }_{\mathrm{{st}}}\left( {1 + \sqrt{\frac{{v}^{2}}{g{\delta }_{\mathrm{{st}}}}}}\right) = {mg}\left( {1 + \frac{v}{g}\sqrt{\frac{k}{m}}}\right)代入数据，求得
{F}_{\max } = {2.45}\mathrm{{kN}} \times \left( {1 + \frac{{0.5}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}}{{9.8}\mathrm{\;m}/{\mathrm{s}}^{2}}\sqrt{\frac{{3.35} \times {10}^{6}\mathrm{\;N}/\mathrm{m}}{{250}\mathrm{\;{kg}}}}}\right) = {16.9}\mathrm{{kN}}由此可见，当鼓轮被突然卡住后，钢索的张力增大了约 5.9 倍。
例 10 如图 22 所示，摆的质量为 m ，点 C 为其质心，O 端为光滑铰链支座，在点 D 处用弹簧悬挂，可在铅垂平面内摆动。设摆对水平轴 O 的转动惯量为 {J}_{0} ，弹簧的刚度系数为 k ；摆杆在水平位置处平衡。设 {OD} = {CD} = b 。求摆从水平位置处以初角速度 {\omega }_{0} 向下做微幅摆动时，摆的角速度与 \varphi 角的关系。
图 22
解: 研究摆的运动。作用于摆的力有弹簧力 \mathbf{F} 、重力 {mg} ，以及支座约束力 {\mathbf{F}}_{{O}_{x}} 和 {\mathbf{F}}_{{O}_{y}} 。前两个力为保守力，后两个力不做功，因此摆的机械能守恒。
取水平位置为摆的零势能位置，此时机械能等于动能 \frac{1}{2}{J}_{0}{\omega }_{0}^{2} 。摆做微幅摆动，\varphi 角极小。 与图 19 问题分析相似，系统对平衡位置的势能为 \frac{1}{2}k{\left( b\varphi \right) }^{2} ，而动能为 \frac{1}{2}{J}_{0}{\omega }^{2} 。由机械能守恒定律，有
\frac{1}{2}{J}_{0}{\omega }^{2} + \frac{k}{2}{\left( b\varphi \right) }^{2} = \frac{1}{2}{J}_{0}{\omega }_{0}^{2}解此方程得摆杆的角速度为
\omega = \sqrt{{\omega }_{0}^{2} - k{b}^{2}{\varphi }^{2}/{J}_{0}}
5.4 势力场的其他性质
(1)有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标的偏导数冠以负号。
在势力场中不同的位置，势能的数值不同，因此势能是坐标的函数。
设有势力 \mathbf{F} 的作用点从点 M 移到邻近点 {M}^{\prime } ，如图 23 所示，这两点的势能分别为 V\left( {x，y，z}\right) 和 V\left( {x + \mathrm{d}x，y + \mathrm{d}y，z + \mathrm{d}z}\right) ，有势力的元功可用势能的差计算，即
图 23
由高等数学知识知，势能 V 的全微分可写为
于是有
设有势力 \mathbf{F} 在直角坐标轴上的投影为 {F}_{x}\text{、}{F}_{y}\text{、}{F}_{z} ，则力的元功为
比较以上两式，得
由势能的函数表达式，应用上式可求得作用于物体的有势力。
如果系统有多个有势力，总势能为 V ，则对于作用点坐标为 {x}_{i}\text{、}{y}_{i}\text{、}{z}_{i} 的有势力 {\mathbf{F}}_{l} ，其相应的投影为
(2)在势力场中，势能相等的各点构成等势能面。
例如，在重力场中，同一水平面上各点的势能都相等，因此重力场中等势能面为水平的平面。
弹性力场的等势能面是以弹簧的固定端为中心的球面。
地球引力场的等势能面是以地心为中心的球面。
势力场中任何一点的势能只有一个数值，此点只通过一个等势能面，即等势能面不相交。
势能等于零的等势能面称为零势能面。
(3)有势力的方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。
设质点 M 在等势能面上运动，各点势能都相等，则此有势力 \mathbf{F} 在等势能面上任意小位移 \mathrm{d}\mathbf{r} 上所做的元功也就等于零，即
\mathrm{d}\mathbf{r} 沿等势能面切线，则 \mathbf{F} 垂直于 \mathrm{d}\mathbf{r} ，即有势力 \mathbf{F} 垂直于等势能面。
设质点在有势力 \mathbf{F} 的作用下沿力的方向实现位移 \mathrm{d}\mathbf{r} ，由等势能面 {V}_{1} 移到 {V}_{2} ，如图 24 所示，则力 \mathbf{F} 做正功，即
图 24
由于
因此有
可见，有势力 \mathbf{F} 指向势能减小的方向。
6 普遍定理的综合应用举例
质点和质点系的普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。这些定理可分为两类:动量定理和动量矩定理属于一类，动能定理属于另一类。前者是矢量形式，后者是标量形式；两者都用于研究机械运动，而后者还可用于研究机械运动与其他运动形式有能量转化的问题。
质心运动定理与动量定理一样，也是矢量形式，常用来分析质点系受力与质心运动的关系；它与对质心的动量矩定理联合，共同描述了质点系机械运动的总体情况；特别是联合用于刚体，可建立刚体运动的基本方程，如平面运动微分方程。应用动量定理或动量矩定理时，质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力。
动能定理是标量形式，在很多实际问题中约束力不做功，因而在动能定理的方程中将不出现约束力，这使问题大为简化。动能定理是从功和能的角度考虑问题，思路比较清晰，方程容易建立。当有一段运动过程时，用动能定理的积分形式来求速度或角速度往往比较方便。如果所列方程是函数形式 (即适用于任意瞬时)，将其对时间求导，可以很容易得到加速度或角加速度。功率方程可视为动能定理的另一种微分形式，便于计算系统的加速度。但应注意，在有些情况下质点系的内力做功并不等于零，应用时要具体分析质点系内力做功问题。
普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法，而在求解比较复杂的问题时，往往需要根据各定理的特点，联合运用。
例11 建立前例12 中圆轮质心的运动微分方程。
解: 在前例12 中，应用刚体的平面运动微分方程建立了圆轮质心的运动微分方程。现在运用功率方程建立该方程。
均质圆轮做平面运动，如图 25 所示，动能为
T = \frac{1}{2}m{v}_{c}^{2} + \frac{1}{2}{J}_{c}{\omega }^{2} = \frac{3}{4}m{v}_{c}^{2}图 25
轮与地面接触点为瞬心，接触点的约束力不做功。因此只有重力做功，重力的功率为
P = {mg} \cdot v = {mg} \cdot \left( {\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t}{e}_{\mathrm{t}}}\right) = m\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t}g \cdot {e}_{\mathrm{t}} = m\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t}\left( {-g\sin \theta }\right) = - {mg}\sin \theta \cdot \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t}应用功率方程
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{\;d}t} = P得
\frac{3}{4}m \cdot 2{v}_{c}\frac{\mathrm{d}{v}_{c}}{\mathrm{\;d}t} = - {mg}\sin \theta \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t}因 \frac{\mathrm{d}{v}_{c}}{\mathrm{\;d}t} = \frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{\;d}{t}^{2}}，\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{\;d}t} = {v}_{c}，\theta = \frac{s}{R - r} ，当 \theta 很小时 \sin \theta \approx \theta ，于是得质心 C 的运动微分方程为
\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} + \frac{2g}{3\left( {R - r}\right) }s = 0此系统的机械能守恒，也可通过机械能守恒定律建立质心的运动微分方程。
取质心 C 的最低位置 O 为重力场零势能位置，圆轮在任一位置的势能为
V = {mg}\left( {R - r}\right) \left( {1 - \cos \theta }\right)同一瞬时的动能为
T = \frac{3}{4}m{v}_{C}^{2}由机械能守恒定律，有
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( {V + T}\right) = 0把 V 和 T 的表达式代入，取导数后得
{mg}\left( {R - r}\right) \sin \theta \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t} + \frac{3}{2}m{v}_{C}\frac{\mathrm{d}{v}_{C}}{\mathrm{\;d}t} = 0因 \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t} = \frac{{v}_{c}}{R - r}，\frac{\mathrm{d}{v}_{c}}{\mathrm{\;d}t} = \frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} ，于是得
\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} + \frac{2}{3}g\sin \theta = 0当 \theta 很小时，\sin \theta \approx \theta = \frac{s}{R - r} ，于是得同样的质心运动微分方程。
例12 图 26 所示的系统中，物块及两均质轮的质量皆为 m ，轮半径皆为 R 。轮 C 上缘绕一刚度系数为 k 的无重水平弹簧，轮 C 与地面间无滑动。现于弹簧的原长处自由释放重物，试求重物下降 h 时的速度、加速度及轮 C 与地面间的摩擦力。
图 26
解: 为求重物下降 h 时的速度和加速度，可用动能定理。系统初始动能为零，当物块有速度 v 时，两轮的角速度皆为 \omega = v/R ，系统动能为
T = \frac{1}{2}m{v}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}m{R}^{2}{\omega }^{2} + \frac{1}{2}\left( {m{v}^{2} + \frac{1}{2}m{R}^{2}{\omega }^{2}}\right) = \frac{3}{2}m{v}^{2}重物下降 h 时弹簧被拉长 {2h} ，重力和弹簧力做功之和为
W = {mgh} - \frac{1}{2}k{\left( 2h\right) }^{2} = {mgh} - {2k}{h}^{2}由动能定理，得
\frac{3}{2}m{v}^{2} - 0 = {mgh} - {2k}{h}^{2} \tag{a}求得重物的速度为
v = \sqrt{\frac{2\left( {{mg} - {2kh}}\right) h}{3m}}为求重物加速度，可用质点系动能定理的微分形式 (19) 或功率方程 (23)。上面式 (a) 已给出速度 v 与下降距离 h 之间的函数关系，式 (a) 两端对时间 t 求一次导数，得
{3mv}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}t} = \left( {{mg} - {4kh}}\right) \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{\;d}t}从而求得重物加速度为
a = \frac{g}{3} - \frac{4kh}{3m}为求地面摩擦力，可取轮 C 为研究对象，如图 26b 所示，其中弹簧力 F = {2kh} 。应用对质心 C 的动量矩定理，即
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( {\frac{1}{2}m{R}^{2} \cdot \frac{v}{R}}\right) = \left( {{F}_{\mathrm{s}} - F}\right) R \tag{b}求得地面摩擦力为
{F}_{\mathrm{s}} = F + \frac{1}{2}{ma} \tag{c}代入 F 及 a 的值，得地面摩擦力为
{F}_{\mathrm{s}} = \frac{mg}{6} + \frac{4}{3}{kh}
由此例可见，为求系统运动时的作用力，需先计算加速度，为此可用质点系动能定理的微分形式，或将动能定理的积分形式用函数表达，再对时间求导。而求作用力时，应用动量定理或动量矩定理。当然，对此问题，也可以分别对两轮及重物各列出其相应的微分方程，再联立求解力与加速度。
例 13 均质细杆长为 l 、质量为 m ，静止直立于光滑地面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚达到地面时的角速度和地面约束力。
解:由于地面光滑，杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅垂下落。设杆左滑与地面成任一角度 \theta ，如图 27a 所示，点 P 为杆的速度瞬心。由运动学知，杆的角速度为
\omega = \frac{{v}_{c}}{CP} = \frac{2{v}_{c}}{l\cos \theta }此时杆的动能为
T = \frac{1}{2}m{v}_{c}^{2} + \frac{1}{2}{J}_{c}{\omega }^{2} = \frac{1}{2}m\left( {1 + \frac{1}{3{\cos }^{2}\theta }}\right) {v}_{c}^{2}初始杆的动能为零，此过程中只有重力做功，由动能定理得
\frac{1}{2}m\left( {1 + \frac{1}{3{\cos }^{2}\theta }}\right) {v}_{c}^{2} = {mg}\frac{l}{2}\left( {1 - \sin \theta }\right)当 \theta = 0 时，解出
{v}_{c} = \frac{1}{2}\sqrt{3gl}，\;\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}图 27
杆刚达到地面时，受力及加速度如图 27b 所示，由刚体平面运动微分方程，得
{mg} - {F}_{\mathrm{N}} = m{a}_{c} \tag{a}{F}_{\mathrm{N}}\frac{l}{2} = {J}_{c}\alpha = \frac{m{l}^{2}}{12}\alpha \tag{b}点 A 的加速度 {a}_{A} 为水平，由质心守恒，{a}_{C} 方向应为铅垂，由运动学知
{\mathbf{a}}_{C} = {\mathbf{a}}_{A} + {\mathbf{a}}_{CA}^{\mathrm{n}} + {\mathbf{a}}_{CA}^{\mathrm{t}}沿铅垂方向投影，得
{a}_{C} = {a}_{CA}^{t} = \alpha \frac{l}{2} \tag{c}式(a)、式(b)、式(c)联立，解出
{F}_{\mathrm{N}} = \frac{mg}{4}
由此例可见，求解动力学问题，常要按运动学知识分析速度与加速度之间的关系；有时还要先判明是否属于动量或动量矩守恒情况。如果是守恒的，则要利用守恒条件给出的结果，才能进一步求解。
例 14 塔轮质量 m = {200}\mathrm{\;{kg}} ，大半径 R = {600}\mathrm{\;{mm}} ，小半径 r = {300}\mathrm{\;{mm}} ，对轮心 C 的回转半径 {\rho }_{c} = {400}\mathrm{\;{mm}} ，质心在几何中心 C 。小半径轮上缠绕无重细绳，绳水平拉出后绕过无重滑轮 B 并悬挂一质量 {m}_{A} = {80}\mathrm{{kg}} 的重物 A ，如图 28 所示。(1)若塔轮在水平地面上做纯滚动，求 {a}_{C} 、绳张力 {\mathbf{F}}_{\mathrm{T}} 及摩擦力 \mathbf{F} ；(2)求纯滚动条件；(3)若静摩擦因数 {f}_{\mathrm{s}} = {0.2} ，动摩擦因数 f = {0.18} ，求绳张力 {\mathbf{F}}_{\mathrm{T}} 。
图 28
解:以整体为研究对象，其受力图如图 28 所示。
(1) 设系统初动能为 {T}_{1} ，重物下降路程 s 后动能为 {T}_{2} ，则
{T}_{2} = \frac{1}{2}m{v}_{c}^{2} + \frac{1}{2}{J}_{c}{\omega }^{2} + \frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}式中，{J}_{c} = m{\rho }_{c}^{2} 。动能 {T}_{2} 中有三个运动学量，应将它们用单一的运动学量来表达。由于塔轮沿地面纯滚动，因此有
{v}_{C} = {\omega R}，\;{v}_{A} = \omega \left( {R - r}\right) \tag{a}注意到式 (a) 对任意时刻都成立，是函数式，可将其对时间 t 求导，得
{a}_{C} = {\alpha R}，\;{a}_{A} = \alpha \left( {R - r}\right) \tag{b}利用式 (a)，动能 {T}_{2} 可写为
{T}_{2} = \frac{1}{2}\left\lbrack {m\left( {{\rho }_{C}^{2} + {R}^{2}}\right) + {m}_{A}{\left( R - r\right) }^{2}}\right\rbrack {\omega }^{2} \tag{c}由图 28 知，{mg}\text{、}{F}_{Bx}\text{、}{F}_{By} 均不做功，摩擦力 F 及 {F}_{N} 作用于速度瞬心，也不做功。这里要注意，当塔轮向右滚动时，摩擦力 \mathbf{F} 也水平向右移动，但功并不是力与其空间位移的点积，而是力与受力物体上作用点位移的点积。本题只有重物 A 的重力做功，即
W = {m}_{A}g \cdot s \tag{d}将式 (c)、式 (d) 代入动能定理，得
\frac{1}{2}\left\lbrack {m\left( {{\rho }_{c}^{2} + {R}^{2}}\right) + {m}_{A}{\left( R - r\right) }^{2}}\right\rbrack {\omega }^{2} - {T}_{1} = {m}_{A}g \cdot s \tag{e}式 (e) 对任意 s 都成立，是函数式，对时间 t 求导得
\left\lbrack {m\left( {{\rho }_{c}^{2} + {R}^{2}}\right) + {m}_{A}{\left( R - r\right) }^{2}}\right\rbrack {\omega \alpha } = {m}_{A}g{v}_{A} \tag{f}利用式 (a) 可得式 (f) 的解为
\alpha = {2.115}\mathrm{{rad}}/{\mathrm{s}}^{2}再利用式 (b) 得
{a}_{A} = \left( {R - r}\right) \alpha = {0.635}\mathrm{\;m}/{\mathrm{s}}^{2}{a}_{c} = {R\alpha } = {1.269}\mathrm{\;m}/{\mathrm{s}}^{2}利用动能定理求得加速度及角加速度后，再求力就方便了。分别取重物 A 及塔轮为研究对象，它们的受力图分别如图 29a、图 29b 所示。
图 29
研究重物 A ，有
{m}_{A}{a}_{A} = {m}_{A}g - {F}_{\mathrm{T}}得
{F}_{\mathrm{T}} = {m}_{A}\left( {g - {a}_{A}}\right) = {733}\mathrm{\;N}研究塔轮，有
m{a}_{c} = {F}_{\mathrm{{Tl}}} - F由于滑轮 B 质量不计，因此 {F}_{\mathrm{{Tl}}} = {F}_{\mathrm{T}} ，得摩擦力 F 的大小为
F = {479}\mathrm{\;N}
(2)由 F \leq {f}_{\mathrm{s}}{F}_{\mathrm{N}} ，其中 {f}_{\mathrm{s}} 为静摩擦因数，{F}_{\mathrm{N}} = {mg} ，得纯滚动条件为
{f}_{\mathrm{s}} \geq {0.244}(3)当 {f}_{\mathrm{s}} = {0.2} 时，纯滚动条件不满足，塔轮将连滚带滑地运动。此时图 28 中的点 P( 塔轮与地面接触点)已不再是速度瞬心，式 (a) 不成立了。这使运动学关系变得复杂，给解题带来麻烦。但另一方面，由于动摩擦力大小恒为 f{F}_{\mathrm{N}} ，使动摩擦力变为已知，为解题带来极大的方便。 由于动摩擦力已知，因此从力的角度去求解会方便些。
分别研究重物 A 及塔轮，它们的受力图如图 29 所示，列方程如下:
\left. \begin{array}{l} {m}_{A}{a}_{A} = {m}_{A}g - {F}_{\mathrm{T}} \\ m{a}_{C} = {F}_{\mathrm{{TI}}} - F \\ m{\rho }_{C}^{2}\alpha = {FR} - {F}_{\mathrm{{TI}}}r \end{array}\right\} \tag{g}式中，{F}_{\mathrm{{TI}}} = {F}_{\mathrm{T}} ，未知量为 {F}_{\mathrm{T}} 、 {a}_{A} 、 {a}_{c} 、 \alpha 共四个，因此要建立运动学量 {a}_{A} 、 {a}_{c} 、 \alpha 之间的关系。由求加速度的基点法，有
{\mathbf{a}}_{D} = {\mathbf{a}}_{C} + {\mathbf{a}}_{DC}^{\mathrm{t}} + {\mathbf{a}}_{DC}^{\mathrm{n}}式中，D 为图 29b 中塔轮与绳的切点。将此矢量方程投影到水平方向，有
{a}_{Dx} = {a}_{C} - {\alpha r}再由 {a}_{Dx} 与 {a}_{A} 相同，因此，有
{a}_{A} = {a}_{C} - {\alpha r} \tag{h}式(h)与式(g)联立，共四个方程，四个未知量，解得
{F}_{\mathrm{T}} = {667}\mathrm{\;N}
