在有限元分析中，计算结果与理论预期不符是常见问题，其中剪切自锁（Shear Locking）和体积自锁（Volumetric Locking）是两类典型的数值误差。这两种“锁死”现象使单元表现出过高的刚度，导致变形结果显著低于实际值，并可能影响非线性分析的收敛性。本文分析两者的力学机理、典型特征及工程实践中的解决方案。
剪切自锁：弯曲变形“冻结”之手
定义与机理
剪切自锁（Shear Locking）是有限元分析中的常见数值问题，指在纯弯曲等理论上无剪切变形的场景中，由于单元插值函数的局限性，产生了寄生剪切应变，导致位移结果偏小。
其本质是低阶单元的位移场插值函数无法准确描述弯曲变形，引入了非物理的“伪剪切应变”。这些寄生应变消耗了部分变形能，导致单元表现出过高的刚度，计算结果偏离实际。
力学原理
根据材料力学中的平截面假定，纯弯曲时，截面保持平面且垂直于中性轴，理论上无剪切应力。然而，在有限元分析中，低阶线性单元（如四节点四边形Q4）的形函数仅支持线性位移插值，无法准确表达弯曲引起的二次位移场，导致寄生剪切应变，如图1所示。
以受纯弯曲的单元为例，单元上表面拉伸、下表面压缩，与理论一致。但由于线性形函数的限制，单元内部产生非物理的剪切应变（如图1b所示，单元变形为梯形，虚线夹角偏离90°），导致伪剪切应力。这种寄生应变减少了实际弯曲变形，使单元表现出过高刚度，位移结果显著低于理论值。
(a) 单元正常弯曲变形
(b) 单元剪切自锁变形
图1 单元正常弯曲与剪切自锁
当应用完全积分线性单元来模拟受纯弯曲的小块材料时，单元上表面拉伸，下表面压缩，这些都与纯受弯的小块材料一致，但是在每个积分点处，中间直线被迫“倾斜”，表现为图1所示的竖直虚线和水平虚线之间的夹角不再为90°，这说明了这点的剪应力不为零，即在积分点处产生了伴生剪切，这与纯受弯的情况不符。
这种伪剪切变形消耗了变形能，而不产生所希望的弯曲变形，使得实际弯曲变形减小，即表现为单元“过硬”，计算得到的挠度可能比理论值低30%以上。
影响因素
剪切自锁的严重程度与以下因素密切相关：
- 单元阶次：低阶线性单元（如Q4）比高阶二次单元（如Q8）更容易发生锁死；
- 受力状态：以弯曲为主的工况（如梁受纯弯矩）；
- 网格形态：单元长宽比越大，锁死现象越显著。
二次单元因边界支持二次形函数，能较好地描述弯曲变形，通常无严重的剪切自锁。然而，在复杂应力状态下（如单元扭曲或存在显著的应力梯度），二次单元也可能出现一定程度的剪切自锁。
图2 完全积分的线性单元与二次单元
但是如果二次单元发生扭曲或它的弯曲应力有梯度(复杂受力状态)，那么也将有可能出现某种程度的剪切自锁，这两种情况在实际问题中是可能发生的。
因此，对于完全积分的线性单元，我们只有当确信载荷只会在模型中产生很小的弯曲时，才可以采用完全积分的线性单元。如果对载荷产生的变形类型有所怀疑，可应采用不同类型的单元分析对比。
对于完全积分的二次单元，在复杂应力下也有可能发生自锁，因此如果在模型中应用这类单元，也应仔细检查计算结果。
① 采用缩减积分单元
缩减积分的概念如图3所示，上图为完全积分，下图为缩减积分（注意在ANSYS软件中 ，Full Integration 实际是选择缩减积分，即将求解应变的矩阵分为体积项和偏差项，对体积项采用缩减积分，对偏差项采用完全积分）。此处所讲的缩减积分（Reduced Integration）是对体积项和偏差项均采用缩减积分。但该方法会出现沙漏(变形的零能模式)。
图3 完全积分单元与缩减积分单元
值得注意的是，剪切自锁现象还受到单元长宽比的较大影响。如下表所示，有分析表明：当简支梁网格长宽比达到10:1（200mm×20mm单元）时，即使用缩减积分，跨中位移误差仍高达30%；而当采用近正方形单元（20mm×33.33mm）时，结果与理论解（1.042mm）基本吻合。
② 采用增强应变单元（非协调单元）
增强应变单元通过引入额外的应变自由度提高形函数灵活性，适用于低阶四边形或六面体单元（如图4所示）。此方法有效缓解剪切自锁，且不引入沙漏模式。单元质量越高，计算精度越高。计算原理如图4所示，在单元中附加了自由度相当于提高了形函数的阶数；同时允许网格中产生缝隙和重叠，故也称为非协调模式。
图4 增强应变单元
③ 采用高阶单元
如前所述，剪切自锁主要是因为线性单元的边不能弯曲，因此采用二次或更高阶单元（如PLANE183），可大为缓解剪切自锁现象，但这会造成计算成本增加。
④ 网格优化
-
控制单元长宽比（建议<4，复杂问题<3）。
-
在弯曲方向布置足够单元层数（至少3层，确保捕捉弯曲应变梯度）。
-
优先在高应力梯度区域细化网格。
体积自锁：不可压缩材料的“刚性枷锁”
与剪切自锁不同，体积自锁主要发生在处理近似不可压缩材料（如橡胶、生物软组织）的仿真中，当泊松比υ接近0.5时，完全积分单元会出现体积应变被过度约束的现象。从本构关系看，体积模量K的计算公式为：
体积自锁的产生需要两个条件：
① 使用完全积分单元；
② 材料泊松比接近0.5。
值得注意的是，平面应力问题不会出现体积自锁，因为平面外应变可补偿体积变化。对于非平面应力问题，如何缓解体积自锁呢？通常可采取如下措施:
①采用混合U-P单元(杂交单元)
混合U-P（位移-压力）公式是解决体积自锁最有效的方法。其核心思想是将静水压应力(图5)作为独立自由度引入单元，与位移场分开求解。
静水压力（hydrostatic pressure）是应力张量中各向同性的部分，表示为所有主应力的平均值。其数学表达式为：
p = -\frac{1}{3}(\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3)
其中，\sigma_1 、\sigma_2 、\sigma_3 是主应力（principal stresses）。负号表示在固体力学中，压应力通常定义为负值。静水压力是一种等向性应力状态，作用于材料的所有方向，引起体积变化而非形状变化。
图5 静水压力下的单元
在ANSYS中，采用U-P杂交单元可通过插入命令流实现。设置KEYOPT(6)=1启用该技术，同时建议配合体积相容公差（VTOL，默认1e-5）调整，如下:
例如对SOLID185单元，可插入command添加如下命令流：
① 在橡胶材料下启用U-P杂交单元:
KEYOPT,MATID,6,1
② 在求解栏中插入一条 Command：
/SOLU
SOLC,1E-3
② 此外缓解体积自锁现象的其他措施还包括：
B-Bar方法：对体积应变项单独降阶积分；
增强应变单元技术：适合六面体/四边形单元；
材料调整：υ设为0.495～0.499平衡精度与收敛；
缩减积分：但需警惕沙漏效应。
精准仿真的“解锁”之道
在实际工程中，应对剪切自锁和体积自锁的“抗锁死”技术需权衡计算精度、稳定性和效率。
需要特别注意的是，应对剪切自锁或体积自锁的这些技术往往会相互影响甚至冲突。例如同时采用缩减积分和增强应变可能导致过度软化。在应对这些问题时建议：
① 先尝试网格细化，厚度方向应至少3层单元；
② 对于橡胶密封件，首选混合U-P单元技术；
③ 关注沙漏能比率，尽量控制在<5%，不应超过10%。
剪切自锁和体积自锁作为有限元分析中的典型数值问题，其本质都是单元形函数与实际变形模式不匹配导致的过度约束现象。理解其背后的力学原理（如平截面假定、体积模量发散）和数值机理（积分方案、形函数阶次），才能合理选择单元技术。现代商业软件（如ANSYS、ABAQUS）虽然提供了多种高级单元选项，但作为工程师仍需掌握“问题诊断—方法匹配—结果验证”的完整闭环，特别是在处理非线性材料或复杂接触时，建议通过小规模试算验证单元技术的适用性。