数值计算方法及其在多物理场耦合分析中的应用与发展趋势

现代科学技术问题的研究方法

现代科学技术问题的研究方法主要有三种:理论推导、科学实验和科学计算。科学技术有助于科学家揭示仅靠物质实验手段难以呈现的科学奥秘与规律,并且它是工程科学家研究成果(包括理论、方法和科学数据)的汇总,成为推动工程和社会进步的前沿生产力。其中,数值计算方法是科学计算的核心部分。

数值计算技术诞生于20世纪50年代初,Bruce, G. H.和Peaceman, D. W.模拟了一维气相不稳定径向和线性流。受当时计算机能力和解法的限制,数值计算技术最初仅用于求解一维问题。随着计算机技术与计算方法的不断发展,复杂的工程问题也能够运用离散化的数值计算方法,并借助计算机获取满足工程要求的数值解。

数值计算可视为借助计算机开展实验。例如,针对某一特定LED(发光二极管)工作过程中的内部电流密度、温度以及热应力问题进行计算,并展示结果。通过计算,我们能够查看LED内部电流密度是否存在拥挤现象、内部温度分布的详细情况,以及由温度变化引发的应力集中是否存在、其位置、大小和随时间的变化等情况。

数值计算一般包含以下步骤:

首先,构建反映问题本质的数学模型。具体而言,就是要建立体现问题中各物理量之间关系的偏微分方程及其相应的定解条件,这是数值计算的起点。例如,牛顿型流体流动的数学模型就是著名的纳维 - 斯托克斯方程及其相应的定解条件。

在建立数学模型之后,就要对该模型进行求解。这需要寻找高效且高精度的计算方法,因为求解科学问题实质就是求解偏微分方程。

确定计算方法后,便可编写程序并进行计算。实践表明,这部分工作在整个项目中占比较大,会耗费绝大部分时间。不过,随着软件技术的发展,出现了适用于各个领域的商业软件,使用这些软件能够大大简化这部分工作,缩短模拟周期,使科研人员能够将更多的时间和精力投入到研究问题本身,而非编写计算代码。

综上所述,用数值计算方法解决科学计算问题的一般过程可以用如下流程形象地表述:

实际问题→ 数学模型→ 计算方法→ 计算程序→ 计算机计算→ 结果分析

计算工作完成后,需要处理大量的计算结果数据,而计算结果的图形后处理也是非常重要的工作环节。如今,许多模拟工具已经能够将图形编辑成连贯的动画进行播放。

数值计算的局限性

数值计算虽然具备诸多优点,但也存在一定的局限性:

其一,数值计算的结果是离散的,并且必然存在误差,这是它与解析法的主要区别。所以,如何控制数值误差、提高计算精度是数值计算软件的首要追求目标。

其二,数值计算的稳定性至关重要。控制误差的增长趋势,确保计算过程稳定是数值计算方法的核心任务之一。特别是对于非线性问题的计算,往往会出现计算结果不收敛甚至无法得到计算结果的情况。

其三,计算规模受计算机硬件发展的制约。以气象研究为例,模拟1平方公里、1公里高度的一个区域,长宽高各自离散1000个网格,而耦合计算的基础方程为5个时,计算规模将达到1000G的自由度。目前,全世界最快的千万亿次超级计算机的计算能力也仅能达到1000G自由度。

其四,多物理场耦合分析存在局限性。针对各个科学和工程领域,人们发展出了不同的计算方法,并且开发了许多优秀的数值计算软件。然而,在不同的算法和软件平台下,多个物理场之间的数据传输会面临诸多问题:数据存储格式的差异可能导致数据传输丢失;不同软件之间的算法不统一使得多个物理场无法实现实时耦合;编写接口软件还会带来额外的工作开销等,这些问题极大地限制了多物理场耦合分析的应用范围。

几种常见数值计算方法

1. FDM(有限差分方法)

有限差分方法是计算机数值模拟最早采用的方法。它将求解域划分为差分网格,以有限个网格节点代替连续的求解域。该方法依据Taylor级数展开等方式,把控制方程中的导数用网格节点上函数值的差商来代替,从而实现离散化,建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。这是一种直接将微分问题转化为代数问题的近似数值解法,其数学概念直观,表达式简单,是发展较早且较为成熟的数值方法。

差分方法主要适用于有结构网格,网格步长必须依据实际情况和稳定条件来确定,这一要求限制了它的应用范围,在电磁场分析中的应用较为常见。

2. FEM(有限元方法)

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法。其基本求解思路是将计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内选取合适的节点作为求解函数的插值点,把偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选插值函数组成的线性表达式,再借助变分原理或加权余量法离散求解偏微分方程。采用不同的权函数和插值函数形式,就会形成不同的有限元方法。

有限元方法的适用性很强,它最初应用于结构力学领域,随着计算机的发展以及各学科理论研究的深入,逐渐应用于流体力学、电动力学、土力学、热力学等多个领域。

3. FVM(有限体积法)

有限体积法又被称为控制体积法,它将计算区域划分为一系列不重复的控制体积,并且使每个网格点周围有一个控制体积。通过对每一个控制体积中的待解偏微分方程进行积分,得出一组离散方程。为了求出控制体积的积分,必须假定网格点之间值的变换规律(即插值函数)。这一假定限制了有限体积法的应用范围,在流体分析中的应用较为普遍。

4. 几种方法比较分析

有限差分方法相对直观,但难以处理不规则区域,对区域的连续性等要求较为严格。不过,它易于编程且便于并行计算。

有限元方法对偏微分方程的离散比较容易,适合处理复杂区域,计算精度可靠。对于能够用偏微分方程描述的物理问题,都可以采用有限元方法进行模拟。

有限体积法适用于流体计算,可用于不规则网格,但由于其截取误差不确定,精度基本为二阶。

因此,在实用性、适用性和扩展性方面,有限元方法更具优势,是目前应用最为广泛的一种数值计算方法。在多物理场方面,有限元方法有着独特的优势,现在许多优秀的实用型多物理场耦合分析软件大多基于有限元法开发而成。

有限元的未来是多物理场耦合分析

早期的有限元主要聚焦于某个专业领域,例如应力或疲劳,这与当时计算机的计算能力相适应。然而,通常情况下,物理现象并非孤立存在。例如,运动会产生热,热又会改变材料的电导率、化学反应速率、流体粘性等属性。这种物理系统之间的相互作用就是所谓的多物理场,其分析难度远高于单独分析一个物理场。常见的耦合问题包括流 - 固耦合、电 - 热耦合、热 - 结构耦合、热 - 电 - 结构耦合、声 - 结构耦合、流体 - 反应耦合、流体 - 热耦合等。使用基于单元库的模拟软件对这些耦合问题进行模拟时,必须推导出相应的耦合方程,这一工作难度极大。

在物理系统中,每增加一个耦合的物理场,就意味着数值计算时要增加一个或多个未知的物理变量,在相同的离散条件下,计算的自由度数将增加。在上世纪90年代以前,由于计算机资源匮乏,多物理场模拟仅停留在理论阶段,有限元建模也局限于单个物理场的模拟,最常见的就是对力学、传热、流体和电磁场的模拟,当时有限元仿真似乎只能局限于单个物理场的模拟。

如今这种情况正在改变。经过多年的发展,计算科学的进步为我们提供了更巧妙、简洁且快速的算法,强大的硬件配置使得多物理场的有限元模拟成为可能。新兴的有限元方法为多物理场分析带来了新的机遇,满足了工程师对真实物理系统求解的需求。

以流 - 固耦合为例,它是流体力学与固体力学相互作用产生的现象,研究对象是固体在流场作用下的各种行为以及固体变形或运动对流场的影响。流 - 固耦合的重要特征是两相介质之间的相互作用:固体在流体动载荷作用下产生变形或运动,而固体的变形或运动又会改变流场,进而影响流场的分布。

压电扩音器可以将电流转换为声学压力场,或者反之将声场转换为电场,这一过程涉及结构场、电场和流体中的声场这三个不同的物理场。这种装置常用于空气或液体中的声源设备,如相控阵麦克风、超声生物成像仪、声纳传感器和声学生物治疗仪等,也可应用于喷墨机和压电马达等机械装置。

科学家已经证明,采用偏微分方程组(PDEs)的方法能够求解多物理场现象。这些偏微分方程可以描述热量传递、电磁场和结构力学等各种物理过程。可以说,多物理场的本质就是偏微分方程组。随着计算机和计算技术的快速发展,工程师能够轻松地用偏微分方程组描述现实中的多物理场问题。如果有一种算法或软件能够直接求解这些偏微分方程组,将对科学研究和工程计算进程产生巨大的推动作用。

然而,多物理场问题的求解难度极大。在实际求解多物理场耦合问题时,需要考虑不同的耦合关系。根据耦合的相互作用关系,可将耦合关系分为双向耦合和单向耦合。如果物理场A通过边界条件或源项对物理场B产生作用,而物理场B对A不产生作用或其影响可忽略不计,这种耦合就是单向耦合。例如在热应力问题中,温度场会产生明显的热应力,但变形对温度场性质的影响不显著,这种情况下可简化为单向耦合问题。

如果物理场B也对A产生影响,则称为双向耦合。例如在电阻应变片上,电流改变时会产生热量,热量又会导致电阻率改变,从而影响电流的变化。

实际上,只要一个场对另一个场产生作用,必然会有反作用。所以,采用间接耦合方式求解多物理场问题时,本身就存在误差。

综上所述,多物理场的计算需要强大的计算机计算能力作为支撑。计算机计算能力的提升使有限元分析从单场分析发展到多场分析成为现实,在未来几年内,多物理场分析工具将会给学术界和工程界带来巨大变革。传统的“设计 - 校验”设计方法将逐渐被淘汰,虚拟造型技术将使科学家们的创意得到更充分的发挥。

多物理场技术的应用及探讨

综上所述,利用基于单元库的方法实现多物理场耦合计算时,每增加一种耦合分析类型就必须推导出相应的耦合方程,代价巨大。随着科学计算的不断发展、研究领域的不断细化和深入以及计算机计算能力的不断提高,未来多物理场计算的发展趋势如下:

  • 计算功能将得到更大扩充。在同一个计算平台下能够实现多个科学领域的计算,如结构力学、流体力学、电动力学、热力学、量子力学等问题都能在一个统一的仿真分析平台下完成。

  • 多尺度耦合分析将成为趋势。现代科学问题通常是一个完整的系统工程,研究尺度范围常常从米到微米甚至纳米级别不等。例如,飞机机翼研究涉及机翼结构强度分析(米量级)和构成机翼的复合材料分子动力学模型(纳米量级)。

  • 结构、构件及其材料的一体化设计计算与模拟仿真将得到发展。系统级的数值模拟会越来越多,材料库的出现也将加速这一进程。

  • 实现真正的多物理场耦合计算。在同一个计算平台下,实现真正实时、不受算法或软件限制的多物理场耦合分析,避免不同计算算法和软件数据互换造成的计算资源浪费。对于任意的物理场组合都能计算相应的多物理场问题。例如,在电阻应变片中,当考虑电流改变产生热量、热量导致电阻率改变进而影响电流改变时,如果研究人员还需要考虑热量改变引起的应变问题,就可以在原有的多物理场系统基础上加入结构力学因素。

  • 基于网络的分布式并行、大规模计算以及CAD/CAE的集成化、网络化、智能化也将成为未来多物理场技术发展的方向。

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