一、Polyflow 的有限元
1. 核心求解器架构
Polyflow 采用基于有限元法的多物理场耦合求解器，专门设计用于处理非牛顿流体和粘弹性流体的复杂流动问题。其有限元 formulation 的核心特点包括：
| 特性 | 说明 |
|---|---|
| Galerkin 有限元法 | 标准加权残差法求解动量、质量和能量方程 |
| DEVSS-G 公式 | 离散弹性-粘性分裂应力（Discrete Elastic-Viscous Split Stress） |
| 多模态求解器 | 基于多波前直接求解器（multi-frontal solver），快速且稳健 |
| 超弹性/粘弹性本构 | 支持 UCM、Oldroyd-B、PTT、Giesekus、K-BKZ、FENE-P 等多种模型 |
二、吹塑成型的有限元控制方程
2.1 基本守恒方程
吹塑过程涉及瞬态、非等温、粘弹性流动，其控制方程为：
质量守恒（连续性方程）：
\nabla \cdot \mathbf{u} = 0
动量守恒：
-\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{T} = \rho \frac{D\mathbf{u}}{Dt}
能量守恒：
\nabla \cdot (\rho c_p \mathbf{u} T) = \nabla \cdot (k \nabla T) + \dot{Q}_{viscous}
其中 \mathbf{T} 为总额外应力张量，对于粘弹性流体分解为：
\mathbf{T} = \mathbf{T}_{viscous} + \mathbf{T}_{elastic}
2.2 粘弹性本构方程
Polyflow 采用微分型本构方程描述聚合物熔体的粘弹性行为：
Upper Convected Maxwell (UCM) 模型：
\mathbf{T} + \lambda \mathbf{T}^{\nabla} = \eta_p (\nabla \mathbf{u} + \nabla \mathbf{u}^T)
Phan-Thien-Tanner (PTT) 模型（更常用）：
f(tr(\mathbf{T}))\mathbf{T} + \lambda \mathbf{T}^{\nabla} = \eta_p (\nabla \mathbf{u} + \nabla \mathbf{u}^T)
其中 \mathbf{T}^{\nabla} 为上随体导数（Upper Convected Derivative），定义为：
\mathbf{T}^{\nabla} = \frac{\partial \mathbf{T}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{T} - (\nabla \mathbf{u})^T \cdot \mathbf{T} - \mathbf{T} \cdot (\nabla \mathbf{u})
三、吹塑特有的有限元技术
3.1 自由表面追踪技术
吹塑的核心是自由表面大变形问题，Polyflow 采用：
- Lagrangian 描述：
- 自由表面节点随材料运动，精确追踪界面位置
- 适用于接触检测问题（如型坯与模具接触）
- Eulerian-Lagrangian 混合方法：
- 内部节点使用最小伪能量法重新分布
- 边界节点采用 Lagrangian 运动
- 称为 “Lagrangian on borders only” 技术
3.2 重网格技术（Remeshing）
吹塑过程中网格发生极大拉伸变形，必须采用自适应重网格：
| 重网格方法 | 适用场景 |
|---|---|
| Spines 方法 | 一维拉伸主导流动 |
| Elasticity 方法 | 二维/三维复杂变形 |
| Lagrangian 方法 | 边界接触问题 |
| Minimum pseudo-energy | 内部节点优化分布 |
重网格原理：
- 根据边界节点位移重新定位内部节点
- 保持网格质量，避免单元畸变
- 在 Polydata 中通过 Global Remeshing 设置
3.3 接触算法（Contact Detection）
吹塑中型坯与模具的接触采用惩罚法（Penalty Method）处理：
- 当型坯节点接触模具表面时，施加惩罚力使其贴合
- 接触后节点获得模具速度（无滑移条件）
- 残余速度源于惩罚公式的数学特性
四、时间推进与求解策略
4.1 瞬态时间离散
吹塑是强瞬态过程，采用隐式时间推进：
\frac{\mathbf{u}^{n+1} - \mathbf{u}^{n}}{\Delta t} = R(\mathbf{u}^{n+1})
- 使用 Evolution 策略 处理强非线性（如压力渐进加载）
- 自适应时间步长控制，确保收敛
4.2 非线性求解方法
- Newton-Raphson 迭代：
- 用于处理材料非线性（剪切变稀/粘弹性）和几何非线性（大变形）
- 对于多模态粘弹性模型，采用解耦算法降低计算成本
- DEVSS-G/DG 公式（关键创新）：
- 将速度梯度插值与动量方程解耦
- 使用全局最小二乘或局部 patch 算法计算速度梯度
- 显著提高高 Weissenberg 数问题的数值稳定性
五、Workbench 中的实现流程
5.1 有限元模型构建流程
[Geometry] → [Mesh] → [Polydata Setup] → [Solution] → [Results]
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
DesignModeler ANSYS 有限元参数设置 多波前求解器 CFD-Post
Meshing - 任务类型 迭代求解 后处理
- 子任务定义
- 本构模型选择
- 边界条件
- 重网格设置
5.2 吹塑专用系统设置
Workbench 提供 Fluid Flow - Blow Molding (Polyflow) 专用系统：
| 设置步骤 | 有限元原理应用 |
|---|---|
| 创建 FEM Task | 选择 2D axisymmetric 或 3D，决定单元类型 |
| 定义 Sub-task | 选择 Viscoelastic/Generalized Newtonian 流动模型 |
| 材料数据 | 输入 Cross/Arrhenius 粘度模型 + 粘弹性参数 |
| 边界条件 | 入口：充分发展流动（Poiseuille 解） |
| 自由表面 | Lagrangian 运动 + 重网格约束 |
| 模具接触 | 惩罚法接触检测 + 壁面无滑移 |
六、技术总结
6.1 数值稳定性处理
| 问题 | 解决方案 |
|---|---|
| 高 Weissenberg 数问题 (HWNP) | DEVSS-G 公式、对数构象张量 |
| 应力边界层 | 局部网格加密（自适应细化） |
| 体积锁定 | 混合有限元（Q2P1 或稳定化方法） |
| 对流占优 | Streamline Upwinding (SU) 或 DG 方法 |
6.2 吹塑特有挑战
- 薄膜近似：型坯厚度远小于其他尺寸，采用壳单元或薄膜假设简化 3D 问题
- 各向异性：拉伸诱导的分子取向导致材料属性方向依赖
- 相变：结晶化动力学耦合（通过 Transport Species 功能实现）