# 质点动力学的基本方程

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**Created:** [2025 年11 月 24 日 05:14 UTC](https://www.cax.do/t/topic/955 "2025-11-24T05:14:12Z")
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#### 发布日期： [2025 年11 月 24 日 05:14 UTC](https://www.cax.do/t/topic/955/1 "2025-11-24T05:14:12Z")

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质点是经典力学中最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统的基础。质点动力学的基本方程给出了质点受力与其运动状态变化之间的联系。

## 1 动力学的基本定律

质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿 (1643-1727) 在总结前人、特别是伽利略研究成果的基础上提出来的，称为牛顿三定律。

牛顿第一定律 (惯性定律)

不受力作用的质点，将保持静止或做匀速直线运动。不受力作用的质点 (包括受平衡力系作用的质点)，不是处于静止状态，就是保持其原有的速度(包括大小和方向)不变，这种性质称为惯性。

牛顿第二定律 (力与加速度之间的关系定律)

牛顿第二定律可以表示为

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( {m\mathbf{v}}\right) = \mathbf{F} \tag{1}

式 (1) 中 m 为质点的质量，v 为质点的速度，而 F 为质点所受的力。在经典力学范围内，质点的质量是守恒的，上式可写为

{ma} = F \tag{2}

即质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力，加速度的方向与力的方向相同。

式 (2) 是牛顿第二定律常用的数学表达式，它是质点动力学的基本方程，建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。当质点上受到多个力作用时，式 (2) 中的 \mathbf{F} 应为此汇交力系的合力。

式 (2) 表明，质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。

在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。根据牛顿第二定律有

P = {mg}\text{ 或 }m = \frac{P}{g}

根据国际计量委员会规定的标准，重力加速度的数值为 {9.80665}\mathrm{\;m}/{\mathrm{s}}^{2} ，一般取 {9.80}\mathrm{\;m}/{\mathrm{s}}^{2} 。实际上在不同的地区，\mathbf{g} 的数值有些微小的差别。

在国际单位制 (SI) 中，长度、质量和时间的单位是基本单位，分别取为 \mathrm{m} (米)、 \mathrm{{kg}} (千克) 和 \mathrm{s} (秒)；力的单位是导出单位。质量为 1\mathrm{\;{kg}} 的质点，获得 1\mathrm{\;m}/{\mathrm{s}}^{2} 的加速度时，作用于该质点的力为 1\mathrm{\;N} (单位名称: 牛 [顿])，即

1\mathrm{\;N} = 1\mathrm{\;{kg}} \times 1\mathrm{\;m}/{\mathrm{s}}^{2}

在精密仪器工业中，也用厘米克秒制(CGS)。在厘米克秒制中，长度、质量和时间是基本单位，分别取为 \mathrm{{cm}} (厘米)、 \mathrm{g} (克)和 \mathrm{s} (秒)；力是导出单位。 1\mathrm{\;g} 质量的质点，获得的加速度为 1\mathrm{\;{cm}}/{\mathrm{s}}^{2} 时，作用于该质点的力为 1\mathrm{{dyn}} (达因)，即

1\mathrm{{dyn}} = 1\mathrm{\;g} \times 1\mathrm{\;{cm}}/{\mathrm{s}}^{2}

牛顿和达因的换算关系为

1\mathrm{\;N} = {10}^{5}\mathrm{{dyn}}

牛顿第三定律 (作用与反作用定律)

两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动的物体，并且与参考系的选择无关。

质点动力学的三个基本定律是在观察天体运动和生产实践中的一般机械运动的基础上总结出来的，因此只在一定范围内适用。三个定律适用的参考系称为惯性参考系。在一般的工程问题中，把固定于地面的坐标系或相对于地面做匀速直线平移的坐标系作为惯性参考系，可以得到相当精确的结果。在研究人造地球卫星的轨道、洲际导弹的弹道等问题时，地球自转的影响不可忽略，则应选取以地心为原点，三轴指向三个恒星的坐标系作为惯性参考系。在研究行星的运动时，地心运动的影响不可忽略，需取太阳为中心，三轴指向三个恒星的坐标系作为惯性参考系。在本书中，如无特别说明，均取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系。

以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学 (又称经典力学)。在古典力学范畴内，认为质量是不变的量，空间和时间是 “绝对的”，与物体的运动无关。近代物理已经证明，质量、时间和空间都与物体运动的速度有关，但当物体的运动速度远小于光速时，物体的运动对于质量、时间和空间的影响是微不足道的，对于一般工程中的机械运动问题，应用古典力学都可得到足够精确的结果。

## 2 质点的运动微分方程

质点受到 n 个力 {\mathbf{F}}\_{1}，{\mathbf{F}}\_{2}，\cdots ，{\mathbf{F}}\_{n} 作用时，由牛顿第二定律，有

{ma} = \sum {\mathbf{F}}\_{i} \tag{3}

或

m\frac{{\mathrm{d}}^{2}\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^{2}} = \sum {\mathbf{F}}\_{i} \tag{3'}

式（3）是矢量形式的质点运动微分方程，在计算实际问题时，需应用它的投影形式。

### 2.1 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影

设矢径 \mathbf{r} 在直角坐标轴上的投影分别为 x\text{、}y\text{、}z ，力 {\mathbf{F}}\_{i} 在直角坐标轴上的投影分别为 {F}\_{ix}\text{、}{F}\_{iy}\text{、}{F}\_{iz} ，则式 \left( {{3}^{\prime }}\right) 在直角坐标轴上的投影形式为

m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = \sum {F}\_{ix}，\;m\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = \sum {F}\_{iy}，\;m\frac{{\mathrm{d}}^{2}z}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = \sum {F}\_{iz} \tag{4}

### 2.2 质点运动微分方程在自然轴上投影

由点的运动学可知，点的全加速度 \mathbf{a} 在切线与主法线构成的密切面内，点的加速度在副法线上的投影等于零，即

a = {a}\_{\mathrm{t}}{e}\_{\mathrm{t}} + {a}\_{\mathrm{n}}{e}\_{\mathrm{n}}，\;{a}\_{\mathrm{b}} = 0

式中，{\mathbf{e}}\_{\mathrm{t}} 和 {\mathbf{e}}\_{\mathrm{n}} 分别为沿轨迹切线和主法线的单位矢量，如图1 所示。式 \left( {{3}^{\prime }}\right) 在自然轴上的投影式为

m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{\;d}t} = \sum {F}\_{it}，\;m\frac{{v}^{2}}{\rho } = \sum {F}\_{in}，\;0 = \sum {F}\_{ib} \tag{5}

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图 1

式中，{F}\_{it}\text{、}{F}\_{in} 和 {F}\_{ib} 分别是作用于质点的各力在切线、主法线和副法线上的投影，而 \rho 为轨迹的曲率半径。

式 (4) 和式 (5) 是两种常用的质点运动微分方程。

式 (3) 为矢量形式，可根据需要向任一轴投影，得到相应的投影形式，如向极坐标系的径向投影或周向投影等。

### 2.3 质点动力学的两类基本问题

质点动力学的问题可分为两类:一是已知质点的运动，求作用于质点的力；二是已知作用于质点的力，求质点的运动。这称为质点动力学的两类基本问题。 第一类基本问题比较简单，例如已知质点的运动方程，只需求两次导数得到质点的加速度，代入质点的运动微分方程中，即可求解。第二类基本问题，从数学的角度看，是解微分方程或求积分的问题，对此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。

> 例1 曲柄连杆机构如图 2a 所示。曲柄 {OA} 以匀角速度 \omega 转动，{OA} = r，{AB} = l ，当 \lambda = r/l 比较小时，以点 O 为坐标原点，滑块 B 的运动方程可近似写为
> 
> x = l\left( {1 - \frac{{\lambda }^{2}}{4}}\right) + r\left( {\cos {\omega t} + \frac{\lambda }{4}\cos {2\omega t}}\right)
> 
> ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_281_525_277_671_288_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/4/43b76846f49946d20f282599e7222184c03fa08c.jpeg)
> 
> 图 2
> 
> 如滑块 B 的质量为 m ，忽略摩擦及连杆 {AB} 的质量，试求当 \varphi = {\omega t} = 0 和 \frac{\pi }{2} 时，连杆 {AB} 所受的力。
> 
> 解: 以滑块 B 为研究对象，当 \varphi = {\omega t} 时，受力如图 2b 所示。由于不计连杆 {AB} 质量，连杆 {AB} 应受平衡力系作用，则连杆 {AB} 为二力杆，它对滑块 B 的力 F 沿 {AB} 方向。写出滑块 B 沿 x 轴的运动微分方程为
> 
> m{a}\_{x} = - F\cos \beta
> 
> 由运动方程，可以求得
> 
> {a}\_{x} = \frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = - r{\omega }^{2}\left( {\cos {\omega t} + \lambda \cos {2\omega t}}\right)
> 
> 当 {\omega t} = 0 时，{a}\_{s} = - r{\omega }^{2}\left( {1 + \lambda }\right) ，且 \beta = 0 ，得
> 
> F = {mr}{\omega }^{2}\left( {1 + \lambda }\right)
> 
> 连杆 {AB} 受拉力。
> 
> 当 {\omega t} = \frac{\pi }{2} 时，{a}\_{s} = r{\omega }^{2}\lambda ，而 \cos \beta = \sqrt{{l}^{2} - {r}^{2}}/l ，则有
> 
> {mr}{\omega }^{2}\lambda = - F\sqrt{{l}^{2} - {r}^{2}}/l
> 
> 得
> 
> F = - m{r}^{2}{\omega }^{2}/\sqrt{{l}^{2} - {r}^{2}}
> 
> 连杆 {AB} 受压力。
> 
> 上例属于质点动力学的第一类基本问题。

> 例 2 质量为 m 的小球，在无风的天空中水平抛出，初速度为 {v}\_{0} ，如图 3 所示。试求小球在重力和空气阻力共同作用下的运动速度和运动规律。
> 
> ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_281_1137_1696_287_337_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/d/d404fab0118d2b60f1be9078a8105f2e22c9563e.jpeg)
> 
> 图 3
> 
> 解: 求解实际的动力学问题与静力学问题一样，都要先建立力学模型。小球可以简化为质点，空气的浮力可以略去不计。本题要求考虑空气阻力，因此要建立空气阻力与速度之间关系的模型。这一模型可以通过大量的实验来获得。实际上，人们已经发现，当物体运动速度较小时，阻力大小与速度大小成正比；当物体运动速度较大时，阻力大小与速度大小的平方成正比。空气阻力的方向总是与速
> 
> 度方向相反。这样，就有了如下两种关系:
> 
> (1)当速度较小时，F = {\mu v} 。
> 
> (2)当速度较大时，F = \mu {v}^{2} 。
> 
> 其中，\mu 为阻力系数。
> 
> 我们分别对这两种情况进行求解。
> 
> (1)当小球运动速度较小时，空气阻力与速度大小呈线性关系。小球受力如图 3 所示。 在小球运动的铅垂面内建立直角坐标系 {Oxy} ，以小球初始位置点 O 为坐标原点，y 轴向下为正。
> 
> 将小球的运动微分方程投影到这一直角坐标系中，有
> 
> m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = m\frac{\mathrm{d}{v}\_{x}}{\mathrm{\;d}t} = - {F}\_{x} = - \mu \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{\;d}t} = - \mu {v}\_{x} \tag{a}
> 
> m\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = m\frac{\mathrm{d}{v}\_{y}}{\mathrm{\;d}t} = {mg} - {F}\_{y} = {mg} - \mu \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}t} = {mg} - \mu {v}\_{y} \tag{b}
> 
> 按题意，t = 0 时，{v}\_{x} = {v}\_{0}，{v}\_{y} = 0 。式 (a) 、式 (b) 的定积分分别为
> 
> {\int }\_{{v}\_{0}}^{{v}\_{x}}\frac{1}{{v}\_{x}}\mathrm{\;d}{v}\_{x} = - {\int }\_{0}^{t}\frac{\mu }{m}\mathrm{\;d}t \tag{c}
> 
> {\int }\_{0}^{{v}\_{y}}\frac{1}{\frac{mg}{\mu } - {v}\_{y}}\mathrm{\;d}{v}\_{y} = {\int }\_{0}^{t}\frac{\mu }{m}\mathrm{\;d}t \tag{d}
> 
> 解得小球速度随时间的变化规律为
> 
> {v}\_{x} = {v}\_{0}{\mathrm{e}}^{-\frac{\mu }{m}t}，\;{v}\_{y} = \frac{mg}{\mu }\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{\mu }{m}t}}\right) \tag{e}
> 
> 按题意，t = 0 时，x = 0，y = 0 。取式 (e) 的定积分，有
> 
> {\int }\_{0}^{x}\mathrm{\;d}x = {\int }\_{0}^{t}{v}\_{0}{\mathrm{e}}^{-\frac{\mu }{m}t}\mathrm{\;d}t，\;{\int }\_{0}^{y}\mathrm{\;d}y = {\int }\_{0}^{t}\frac{mg}{\mu }\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{\mu }{m}t}}\right) \mathrm{d}t
> 
> 解得小球的运动方程为
> 
> x = {v}\_{0}\frac{m}{\mu }\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{\mu }{m}t}}\right) ，\;y = \frac{mg}{\mu }t - \frac{{m}^{2}g}{{\mu }^{2}}\left( {1 - {\mathrm{e}}^{-\frac{\mu }{m}t}}\right) \tag{f}
> 
> 这是质点动力学的第二类基本问题。求解过程一般需要积分，还要分析题意，合理应用运动初始条件确定积分常数，使问题得到确定的解。
> 
> (2)当质点运动速度较大时，F = \mu {v}^{2} ，空气阻力与速度大小的关系是非线性的。这时如果不画受力图，就很可能列出如下沿 x\text{、}y 轴两个投影方向的方程:
> 
> \left. \begin{array}{r} m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = - \mu {v}\_{x}^{2} \\ m\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = {mg} - \mu {v}\_{y}^{2} \end{array}\right\} \tag{g}
> 
> 仔细分析一下，这两个方程对吗？下面用正确的方法来求解这一问题。
> 
> 首先，要进行受力分析，画出受力图，如图 3 所示。然后列质点运动微分方程，特别要注意阻力 \mathbf{F} 的投影。
> 
> \left. \begin{array}{r} m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = - \mu {v}^{2}\cos \theta = - {\mu v}{v}\_{x} \\ m\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{\;d}{t}^{2}} = {mg} - \mu {v}^{2}\sin \theta = {mg} - {\mu v}{v}\_{y} \end{array}\right\} \tag{h}
> 
> 式中，角 \theta 是速度 v 与 x 轴的夹角，\tan \theta = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} 。式(h)与式(g)是不同的，显然式(g)是错误的。

通过这一事实可知，在求解动力学问题时要先进行受力分析 (画受力图)，再列方程，哪怕是很简单的受力图也要画出来。

式(h)是非线性的微分方程组，只能求数值解。非线性问题不仅方程复杂，而且通常只能求数值解。现在完全可以利用计算机对各类非线性问题求数值解，对本题有兴趣的读者可以去进行数值求解。从式 (h) 还可以看到，这一非线性问题的水平和铅垂运动不是独立的，它们通过速度 v 互相影响，这与线性问题有本质的不同。

有的工程问题既需要求质点的运动规律，又需要求未知的约束力，是质点动力学的第一类基本问题与第二类基本问题综合在一起的动力学问题，称为混合问题。 下面举例说明这类问题求解的方法。

> 例 3 一圆锥摆，如图 4 所示。质量 m = {0.1}\mathrm{\;{kg}} 的小球系于长 l = {0.3}\mathrm{\;m} 的绳上，绳的另一端系在固定点 O ，并与铅垂线成 \theta = {60}^{ \circ } 角。如小球在水平面内做匀速圆周运动，求小球的速度 v 与绳的张力的大小。
> 
> 解: 以小球为研究的质点，作用于质点的力有重力 {mg} 和绳的拉力 \mathbf{F} 。选取在自然轴上投影的运动微分方程，得
> 
> m\frac{{v}^{2}}{\rho } = F\sin \theta ，\;0 = F\cos \theta - {mg}
> 
> ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_283_1103_927_337_411_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/e/eef74216f811586597c845374fcddc1af19b7dd1.jpeg)
> 
> 图 4
> 
> 因 \rho = l\sin \theta ，于是解得
> 
> F = \frac{mg}{\cos \theta } = \frac{{0.1}\mathrm{\;{kg}} \times {9.8}\mathrm{\;m}/{\mathrm{s}}^{2}}{\frac{1}{2}} = {1.96}\mathrm{\;N}
> 
> v = \sqrt{\frac{{Fl}{\sin }^{2}\theta }{m}} = \sqrt{\frac{{1.96}\mathrm{\;N} \times {0.3}\mathrm{\;m} \times {\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right) }^{2}}{{0.1}\mathrm{\;{kg}}}} = {2.1}\mathrm{\;m}/\mathrm{s}
> 
> 绳的张力与拉力 \mathbf{F} 的大小相等。

此例表明：对某些混合问题，向自然轴投影，可使质点动力学的两类基本问题分开求解。

> 例 4 粉碎机滚筒半径为 R ，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 \theta = {\theta }\_{0} 时 (图 5a) 才掉下来。求滚筒每分钟的转数 n 。
> 
> ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_283_528_1700_680_371_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/3/3a799c070b64f0273a63a237afb0676457d731b3.jpeg)
> 
> 图 5
> 
> 解：首先建立这一问题的力学模型。滚筒是三维的，但按题意可以简化为二维问题。滚筒为刚体，几何形状为圆形，绕几何中心转动，角速度看作为常量。由于铁球的直径比滚筒直径小很多，因此可将铁球视为质点。筒壁上的凸棱不仅带动铁球上升，还限制了铁球沿筒壁切线方向的位移。真实的情况很复杂，铁球在脱离筒壁前很可能沿凸棱有所滑动，但滑动很小。因此这一问题的力学模型如同增加了一个约束，即铁球在脱离筒壁前与筒壁之间无相对滑动。这对解题很重要。由此建立的力学模型及铁球的受力图如图 5b 所示。
> 
> 列出铁球的运动微分方程在主法线上的投影式为
> 
> m\frac{{v}^{2}}{R} = {F}\_{\mathrm{N}} + {mg}\cos \theta
> 
> 质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度，即
> 
> v = \frac{\pi n}{30}R
> 
> 于是解得
> 
> n = \frac{30}{\pi R}{\left\lbrack \frac{R}{m}\left( {F}\_{\mathrm{N}} + mg\cos \theta \right) \right\rbrack }^{\frac{1}{2}}
> 
> 当 \theta = {\theta }\_{0} 时，铁球将落下，这时 {F}\_{\mathrm{N}} = 0 ，于是得
> 
> n = {9.549}\sqrt{\frac{g}{R}\cos {\theta }\_{0}}
> 
> 显然，{\theta }\_{0} 越小，要求 n 越大。当 n = {9.549}\sqrt{\frac{g}{R}} 时，{\theta }\_{0} = 0 ，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。

如果筒壁上没有凸棱，则铁球的上升完全靠它与筒壁间的摩擦，例如洗衣机等。

这时也可用上面的力学模型，但误差稍大些。

精确一些可建立这样的力学模型：给出铁球与筒壁之间的静、动摩擦因数，最初铁球靠它与筒壁间的静摩擦力带动上升。此时铁球的受力图仍如图 5b 所示，但切向约束力 \mathbf{F} 是静摩擦力，其最大值为 {F}\_{\text{smax }} = {f}\_{\mathrm{s}}{F}\_{\mathrm{N}} 。在铁球离开筒壁前，即 {F}\_{\mathrm{N}} 趋于零的过程中，{F}\_{\text{smax }} 也趋于零。从而使重力 {mg} 的切向分量大于 {F}\_{\operatorname{smax}} ，于是铁球沿切向产生逆时针方向的加速度。 显然，由此时开始铁球与筒壁间有了相对滑动，这时切向约束力 \mathbf{F} 变为动摩擦力 {F}\_{\mathrm{d}} = f{F}\_{\mathrm{N}} ，直至铁球脱离筒壁时为零。

这一模型虽然比前一力学模型精确些，但是其求解过程较复杂。更何况这一力学模型中将铁球尺寸忽略而视为质点，又忽略了铁球相互之间的作用，由此产生的误差可能不小于将凸棱换作摩擦而产生的误差。因此在工程中不要求很精确时，用前一模型即可。