# 静力学公理和物体的受力分析

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**Category:** Mechanics
**Created:** [2025 年11 月 3 日 13:16 UTC](https://www.cax.do/t/topic/916 "2025-11-03T13:16:46Z")
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### 作者： ![Max](https://www.cax.do/user_avatar/www.cax.do/max/32/257_2.png) [@Max](https://www.cax.do/u/Max)
#### 发布日期： [2025 年11 月 3 日 13:16 UTC](https://www.cax.do/t/topic/916/1 "2025-11-03T13:16:46Z")

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## 1 静力学公理

> **公理 1 力的平行四边形法则**

作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图 1 所示。合力矢等于这两个力矢的几何和，即

{\mathbf{F}}\_{\mathrm{R}} = {\mathbf{F}}\_{1} + {\mathbf{F}}\_{2}

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图 1

> **公理 2 二力平衡条件**

作用在同一刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的 **大小相等** ， **方向相反** ，且 **作用在同一直线上** 。

这条公理表明了作用于刚体上最简单力系平衡时所必须满足的条件。

> **公理 3 加减平衡力系原理**

在任一原有力系上加上或减去任意的平衡力系，与原力系对刚体的作用效果等效。

这条公理是研究力系等效替换的重要依据。

根据上述公理可以导出下列两条推理：

> 推理 1 力的可传性

作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。

- 

> 证明： 在刚体上的点 A 作用力 \mathbf{F} ，如图 2a 所示。根据加减平衡力系原理，可在力的作用线上任取一点 B ，并加上两个相互平衡的力 {\mathbf{F}}\_{1} 和 {\mathbf{F}}\_{2} ，使 \mathbf{F} = {\mathbf{F}}\_{2} = - {\mathbf{F}}\_{1} ，如图 2b 所示。由于力 \mathbf{F} 和 {\mathbf{F}}\_{1} 也是一个平衡力系，故可除去，这样只剩下一个力 {\mathbf{F}}\_{2} ，如图 2c 所示，即原来的力 \mathbf{F} 沿其作用线移到了点 B 。

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图 2

由此可见，对于刚体来说，力的作用点已由作用线所代替。

因此，作用于刚体上的力的三要素是： **力的大小、方向和作用线。**

作用于刚体上的力可以沿着其作用线移动，这种矢量称为滑动矢量。

> 推理 2 三力平衡汇交定理

刚体在三个力作用下平衡，若其中两个力的作用线交于一点，则第三个力的作用线必通过此汇交点，且三个力位于同一平面内。

- 

> 证明： 如图 3 所示，在刚体的 A\text{、}B\text{、}C 三点上，分别作用三个力 {\mathbf{F}}\_{1}\text{、}{\mathbf{F}}\_{2}\text{、}{\mathbf{F}}\_{3} ，且刚体平衡，其中力 {\mathbf{F}}\_{1}\text{、}{\mathbf{F}}\_{2} 两个力的作用线交于点 O 。根据力的可传性，把力 {\mathbf{F}}\_{1}\text{、}{\mathbf{F}}\_{2} 移到汇交点 O ，再根据力的平行四边形公理，得合力 {\mathbf{F}}\_{12} 。由二力平衡条件，力 {\mathbf{F}}\_{3} 、 {\mathbf{F}}\_{12} 平衡，则力 {\mathbf{F}}\_{3}\text{、}{\mathbf{F}}\_{12} 必共线，即力 {\mathbf{F}}\_{3} 必通过汇交点 O ，且力 {\mathbf{F}}\_{3} 必位于力 {\mathbf{F}}\_{1}\text{、}{\mathbf{F}}\_{2} 所在的平面内，三力共面，推理 2 得证。

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图 3

> **公理 4 作用和反作用定律**

作用力和反作用力总是同时存在，两个力的大小相等，方向相反，沿着同一条直线，分别作用在两个相互作用的物体上。

这条公理描述了作用力与反作用力的关系，在画受力图时要注意该公理的应用。作用和反作用定律与二力平衡条件的描述有相同之处，两个力均是等值、反向、共线，但区别是作用力和反作用力分别作用在相互作用的两个物体上，二力平衡条件中的两个力作用于同一个刚体上。

> **公理 5 刚化原理** ：变形体在某一力系作用下处于平衡状态，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。

这个公理提供了把变形体看作为刚体模型的条件。

如图 4 所示，绳索在等值、反向、共线的两个拉力作用下处于平衡状态，如将绳索刚化成刚体，其平衡状态保持不变。反之就不一定成立，如刚体在两个等值反向的压力作用下平衡，若将它换成绳索就不能平衡了。

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图 4

由此可见，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。

## 2 约束和约束力

有些物体，如飞行的飞机、炮弹和火箭等，它们在空间的位移不受任何限制。位移不受限制的物体称为自由体。相反，有些物体在空间的位移要受到一定的限制，如机车受铁轨的限制，只能沿轨道运动；电机转子受轴承的限制，只能绕轴线转动；重物由钢索吊住，不能下落；等等。

位移受到限制的物体称为非自由体。对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束。例如，铁轨对于机车，轴承对于电机转子，钢索对于重物等，都是约束。

从力学角度来看，约束对物体的作用，实际上就是力，这种力称为 **约束力** 。因此，约束力的方向必与该约束所能够阻碍的位移方向相反。应用这个准则，可以确定约束力的方向或作用线的位置。至于约束力的大小则是未知的。

在静力学问题中，约束力和物体受的其他已知力 (称为主动力) 组成平衡力系，因此，可用平衡条件求出未知的约束力。当主动力改变时，约束力一般也发生改变，因此，约束力是被动的，这也是将约束力之外的力称为主动力的原因。

下面介绍几种在工程中常见的约束类型和确定约束力方向的方法。

### 2.1 具有光滑接触表面的约束

支持物体的固定面 (图 5a、5b)、啮合齿轮的齿面 (图 6)、机床中的导轨等，当摩擦忽略不计时，都属于这类约束。

这类约束不能限制物体沿约束表面切线方向的位移，只能阻碍物体沿接触表面法线方向并指向约束内部的位移。因此，光滑支承面对物体的约束力，作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向被约束的物体。这种约束力称为法向约束力，通常用 {\mathbf{F}}\_{\mathrm{N}} 表示，如图 5 中的 {\mathbf{F}}\_{\mathrm{N}A} 、 {\mathbf{F}}\_{\mathrm{N}C} 和图 6 中的 {\mathbf{F}}\_{\mathrm{N}B} 等。

 ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_41_478_259_776_265_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/3/336d2cad7553e8d91d3a156b31bf54c4bf03386d.jpeg)

图 5

 ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_41_1117_681_315_450_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/3/303812c42385f4f85030dcbf1ea7bba78aaefb5b.jpeg)

图 6

### 2.2 由柔软的绳索、链条或带等构成的约束

绳索吊住重物，如图 7a 所示。因为柔软的绳索本身只能承受拉力，所以它给物体的约束力也只可能是拉力 (图 7b)。因此，绳索对物体的约束力，作用在接触点，方向沿着绳索背离物体。通常用 \mathbf{F} 或 {\mathbf{F}}\_{\mathrm{T}} 表示这类约束力。

链条或带也都只能承受拉力。当它们绕在轮子上时，对轮子的约束力沿轮缘的切线方向 (图 8)。

一般通称这类约束为柔索约束。

 ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_41_300_1204_429_433_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/6/6b67bd20836628e878b8062d7136c47bbd609a88.jpeg)

图 7

 ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_41_878_1392_541_242_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/8/8e873b59178ddad7e42332d08e2a933215782192.jpeg)

图 8

## 3 光滑铰链约束

这类约束有向心轴承、圆柱铰链和固定铰链支座等。

(1) 向心轴承(径向轴承)

图 9a、9b 所示为轴承装置，可画成如图 9c 所示的简图。

轴可在孔内任意转动，也可沿孔的中心线移动; 但是，轴承阻碍着轴沿径向向外的位移。当轴和轴承在某点 A 光滑接触时，轴承对轴的约束力 {\mathbf{F}}\_{A} 作用在接触点 A ，且沿公法线指向轴心 (图 9a)。

 ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_42_333_317_833_615_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/4/419e939b88ebe32d2ca46101e68f1c56b4dee54c.jpeg)

图 9

但是，随着轴所受的主动力不同，轴和孔的接触点的位置也随之不同。因此，当主动力尚未确定时，约束力的方向预先不能确定。然而，无论约束力朝向何方，它的作用线必垂直于轴线并通过轴心。这样一个方向不能预先确定的约束力，通常可用通过轴心的两个大小未知的正交分力 {\mathbf{F}}\_{Ax}\text{、}{\mathbf{F}}\_{Ay} 来表示，如图 9b 或 9c 所示，{\mathbf{F}}\_{Ax} 、 {\mathbf{F}}\_{Ay} 的指向暂可任意假定。

在平面问题中，此类约束一般用图 9d 所示的符号表示。

(2) 圆柱铰链和固定铰链支座

图 10a 所示为一拱形桥示意图，它是由两个拱形构件通过圆柱铰链 C 以及固定铰链支座 A 和 B 连接而成的。圆柱铰链是由销 C 将两个钻有同样大小孔的构件连接在一起而成的 (图 10b)，其简图如图 10a 的铰链 C 所示。如果铰链连接中有一个固定在地面或机架上作为支座，则这种约束称为固定铰链支座，简称固定铰支，如图 10b 所示的支座 B ，其简图如图 10a 所示的固定铰链支座 A 和 B 。

在分析铰链 C 处的约束力时，通常把销 C 固连在其中任意一个构件上，如构件 \mathrm{{II}} 上，则构件 \mathrm{I} 、\mathrm{{II}} 互为约束。显然，当忽略摩擦时，构件 \mathrm{{II}} 上的销与构件 \mathrm{I} 的结合，实际上是轴与光滑孔的配合问题。因此，它与轴承具有同样的约束性质，即约束力的作用线不能预先定出，但约束力垂直轴线并通过铰链中心，故也可用两个未知的正交分力 {\mathbf{F}}\_{Cx}\text{、}{\mathbf{F}}\_{Cy} 和 {\mathbf{F}}\_{Cx}^{\prime }\text{、}{\mathbf{F}}\_{Cy}^{\prime } 来表示，如图 10c 所示。其中 {\mathbf{F}}\_{Cx} 和 {\mathbf{F}}\_{Cx}^{\prime }，{\mathbf{F}}\_{Cy} 和 {\mathbf{F}}\_{{c}\_{y}}^{\prime } 分别互为作用力与反作用力。

同理，把销固连在 A\text{、}B 支座上，则固定铰支 A\text{、}B 对构件 \mathrm{I}\text{、}\mathrm{{II}} 的约束力分别为 {\mathbf{F}}\_{Ax}\text{、}{\mathbf{F}}\_{Ay} 与 {\mathbf{F}}\_{Bx}\text{、}{\mathbf{F}}\_{By} ，如图 10c 所示。

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图 10

当需要分析销 C 的受力时，可把销 C 分离出来单独研究。这时，销 C 将同时受到构件 \mathrm{I} 、 \mathrm{{II}} 上的孔对它的反作用力。其中 {\mathbf{F}}\_{C1x} 与 {\mathbf{F}}\_{C1x}^{\prime }，{\mathbf{F}}\_{C1y} 与 {\mathbf{F}}\_{C1y}^{\prime } 为构件 \mathrm{I} 与销 C 的作用力与反作用力; {\mathbf{F}}\_{C2x} 与 {\mathbf{F}}\_{C2x}^{\prime }，{\mathbf{F}}\_{C2y} 与 {\mathbf{F}}\_{C2y}^{\prime } 为构件 \mathrm{{II}} 与销 C 的作用力与反作用力。销 C 所受到的约束力如图 10d 所示。

当将销 C 与构件 \mathrm{{II}} 固连为一体时，{\mathbf{F}}\_{C2x} 与 {\mathbf{F}}\_{C2x}^{\prime }，{\mathbf{F}}\_{C2y} 与 {\mathbf{F}}\_{C2y}^{\prime } 为作用在同一刚体上的成对的平衡力，可以消去不画。此时，力的下角不必再区分为 {C1} 和 {C2} ，铰链 C 处的约束力仍如图 10c 所示。

上述三种约束 (向心轴承、圆柱铰链和固定铰链支座)，它们的具体结构虽然不同，但是构成约束的性质是相同的，一般通称为铰链约束，通常用图 9d 所示的符号表示。此类约束的特点是只限制两物体径向的相对移动，而不限制两物体绕铰链中心的相对转动与沿轴向的位移。此类约束的约束力一般用两个正交分力来表示，如图 9d 所示。

## 4 其他约束

(1) 滚动支座

在桥梁、屋架等结构中经常采用滚动支座，这种支座是在固定铰链支座与光滑支承面之间，装有几个滚轴而构成，又称为滚轴支座，如图 11a 所示，其简图如图 11b 所示。它可以沿支承面移动，允许由于温度变化而引起结构跨度的自由伸长或缩短。显然，滚动支座的约束性质与光滑面约束相同，其约束力必垂直于支承面，且通过铰链中心。通常用 {\mathbf{F}}\_{\mathrm{N}} 表示其法向约束力，如图 11c 所示。在某些实际工程结构中，滚轴支座除了底面有光滑支承面以外，上面可能还设有盖板，以防支座翘起。 因此，滚动支座的约束力方向也可能指向支承面。

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图 11

(2) 球铰链

通过球和球壳将两个构件连接在一起的约束称为球铰链，如图 12a 所示。 它使构件的球心不能有任何位移，但构件可绕球心任意转动。若忽略摩擦，其约束力应是通过接触点与球心，但方向不能预先确定的一个空间法向约束力，一般用三个正交分力 {\mathbf{F}}\_{x}\text{、}{\mathbf{F}}\_{y}\text{、}{\mathbf{F}}\_{z} 表示，其简图及约束力如图 12b 所示。

 ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_45_509_269_709_425_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/e/e8ea283dac5409a8bcfc93825f161fca94aaa7cc.jpeg)

图 12

(3) 止推轴承

止推轴承与径向轴承不同，它除了能限制轴的径向位移以外，还能限制轴沿轴向的位移。因此，它比径向轴承多一个沿轴向的约束力，即其约束力有三个正交分量 {\mathbf{F}}\_{Ax}\text{、}{\mathbf{F}}\_{Ay}\text{、}{\mathbf{F}}\_{Az} 。止推轴承的简图及其约束力如图 13 所示。

 ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_45_565_956_594_357_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/a/ad502e4aeb803fa4a59b07233f1d8048c3077eba.jpeg)

图 13

## 5 物体的受力分析和受力图

在工程实际中，为了求出未知的约束力，需要根据已知力，应用平衡条件求解。 为此，首先要确定构件受了几个力，以及每个力的作用位置和力的作用方向，这种分析过程称为物体的 **受力分析** 。

作用在物体上的力可分为两类：一类是 **主动力** ，例如，物体的重力、风力、气体压力等，一般是已知的；另一类是约束对物体的 **约束力** ，为未知的被动力。

为了清晰地表示物体的受力情况，首先要把需要研究的物体 (称为受力体) 从周围的物体 (称为施力体) 中分离出来，单独画出它的受力简图，这个步骤叫作取研究对象或取分离体。然后，把施力物体对研究对象的作用力 (包括主动力和约束力)全部画出来。这种表示物体受力的简明图形，称为 **受力图** 。

> 例 1 如图 14a 所示，梁 {AB} 用杆 {CD} 支承，A\text{、}C\text{、}D 三处均为光滑铰链连接。均质梁 {AB} 重为 {P}\_{1} ，其上放置一重为 {P}\_{2} 的电动机。不计杆 {CD} 的自重，分别画出杆 {CD} 和梁 {AB} (包括电动机) 的受力图。
> 
> ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_46_312_511_914_668_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/c/c6cd03b9d4d34c5458c1fbb933e0b659313f74d9.jpeg)
> 
> 图 14
> 
> 解：画受力图一般分三步：取研究对象并画出其简图；画主动力；画约束力。
> 
> (1)先画杆 {CD} 的受力图，取杆 {CD} 为研究对象，画出简图(图 14b)。杆 {CD} 上未作用主动力，现画其约束力。由于杆 {CD} 的自重不计，根据光滑铰链的特性，C\text{、}D 处的约束力分别通过铰链 C\text{、}D 的中心，方向暂不确定。考虑到杆 {CD} 只在 {\mathbf{F}}\_{C}\text{、}{\mathbf{F}}\_{D} 两个力作用下平衡，根据二力平衡条件，这两个力必定沿同一直线，且等值、反向。由此可确定 {\mathbf{F}}\_{c} 和 {\mathbf{F}}\_{p} 的作用线应沿铰链中心 C 与 D 的连线，由经验判断，此处杆 {CD} 受压力，其受力图如图 14b 所示。一般情况下，{\mathbf{F}}\_{c} 与 {\mathbf{F}}\_{p} 的指向不能预先判定，可先任意假设杆受拉力或压力。若根据平衡方程求得的力为正值，说明原假设力的指向正确；若为负值，则说明杆实际受力与原假设指向相反。
> 
> 只在两个力作用下平衡的构件，称为二力构件。由于静力学中所指物体都是刚体，其形状对计算结果没有影响，因此，不论其形状如何，一般均称为二力杆。它所受的两个力必定沿两个力作用点的连线，且等值、反向。二力杆在工程实际中经常遇到，有时也把它作为一种约束，如图 14b 所示。
> 
> (2)再画梁 {AB} 的受力图。取梁 {AB} (包括电动机)为研究对象。它受有 {\mathbf{P}}\_{1} 、 {\mathbf{P}}\_{2} 两个主动力的作用。梁在铰链 D 处受有二力杆 {CD} 给它的反作用力 {\mathbf{F}}\_{D}^{\prime } 的作用。梁在 A 处受固定铰支给它的约束力的作用，由于方向未知，可用两个未定的正交分力 {\mathbf{F}}\_{Ax} 和 {\mathbf{F}}\_{Ay} 表示。梁 {AB} 的受力图如图 14c 所示。

> 例 2 如图 15a 所示的三铰拱桥，由左、右两拱铰接而成。不计自重及摩擦力，在拱 {AC} 上作用有载荷 F 。试分别画出拱 {AC} 和 {CB} 的受力图。
> 
> ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_47_444_262_852_820_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/4/4d5cfdadd2cc6878169187ab26dd5c24fbd7be51.jpeg)
> 
> 图 15
> 
> 解： (1) 先分析拱 {BC} 的受力。由于拱 {BC} 自重不计，且只在 B\text{、}C 两处受到铰链约束，因此，拱 {BC} 为二力构件。在铰链中心 B\text{、}C 处分别受 {\mathbf{F}}\_{B}\text{、}{\mathbf{F}}\_{C} 两个力的作用，这两个力的方向如图 15b 所示。
> 
> (2)再分析拱 {AC} 的受力。取拱 {AC} 为研究对象。由于自重不计，因此，主动力只有载荷 \mathbf{F} 。 拱 {AC} 在铰链 C 处受有拱 {BC} 给它的反作用力 {F}\_{C}^{\prime } 的作用，拱在 A 处受有固定铰支给它的约束力 {\mathbf{F}}\_{A} 的作用，由于方向未定，可用两个未知的正交分力 {\mathbf{F}}\_{Ax} 和 {\mathbf{F}}\_{Ay} 代替。拱 {AC} 的受力图如图 15c 所示。
> 
> 再进一步分析可知，由于拱 {AC} 在 F\text{、}{F}\_{C}^{\prime } 及 {F}\_{A} 三个力作用下平衡，故可根据三力平衡汇交定理，确定铰链 A 处约束力 {\mathbf{F}}\_{A} 的方向。点 D 为力 \mathbf{F} 和 {\mathbf{F}}\_{C}^{\prime } 作用线的交点，当拱 {AC} 平衡时，约束力 {\mathbf{F}}\_{A} 的作用线必通过点 D (图 15d); 至于 {\mathbf{F}}\_{A} 的指向，暂且假定如图所示，以后由平衡条件确定。

> 例 3 图 16a 所示为一折叠梯子的示意图，梯子的 {AB}\text{、}{AC} 两部分在点 A 铰接，在 D\text{、}E 两点用绳水平相连。梯子放在光滑水平地板上，自重忽略不计，点 H 处站立一人，其重为 P 。要求分别画出绳子，以及梯子左、右两部分和梯子的整体受力图。
> 
> 解：(1)绳子为柔索约束，其受力图如图 16b 所示。
> 
> (2)先画梯子左边部分 {AB} 的受力图。其在 B 处受到光滑地板对它的法向约束力作用，以 {\mathbf{F}}\_{\mathrm{N}B} 表示。在 D 处受到绳子对它的拉力作用，以 {\mathbf{F}}\_{D}^{\prime } 表示。在 H 处受到人的重力 \mathbf{P} 的作用。在铰链 A 处，可画为两正交分力，以 {F}\_{Ar}\text{、}{F}\_{Ay} 表示。梯子左侧的受力图如图 16c 所示。
> 
> (3)画梯子右边部分 {AC} 的受力图。其在 C 处受到光滑地板对它的法向约束力作用，以 {\mathbf{F}}\_{NC} 表示。在 E 处受到绳子对它的拉力作用，以 {\mathbf{F}}\_{E}^{\prime } 表示。在铰链 A 处，受到梯子左边部分对它的反作用力作用，以 {\mathbf{F}}\_{Ax}^{\prime }\text{、}{\mathbf{F}}\_{Ay}^{\prime } 表示。右边梯子的受力图如图 16d 所示。
> 
> ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_48_279_258_938_799_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/6/6a38a3020f137ea253058e4ef024980f7a1f2125.jpeg)
> 
> 图 16
> 
> (4)画梯子整体的受力图。在画系统(梯子)的整体受力图时，{AB} 与 {AC} 两部分在 A 处相互有力作用，在点 D 与点 E 绳子对其也有力作用，这些力成对地作用在系统内。系统内各物体之间相互作用的力称为内力，内力是成对出现的，对系统的作用效应相互抵消，因此，在受力图上一般不画出。在受力图上只画出系统以外的物体对系统的作用力，这种力称为外力。这里，人的重力 \mathbf{P} 和地板约束力 {\mathbf{F}}\_{NB}\text{、}{\mathbf{F}}\_{NC} 是作用于系统上的外力，整个系统 (梯子) 的受力图如图 16e 所示。
> 
> 当然，内力与外力不是绝对的，例如，当把梯子的两部分拆开时，A 处的作用力和绳子的拉力即为外力，但取整体时，这些力又为内力。因此，内力与外力的区分只有相对某一确定的研究对象才有意义。

> 例 4 在图 17a 所示的平面结构中，杆 {AB} 上作用有竖直向下的主动力 \mathbf{F} 。不计各杆的自重与各处的摩擦力，请画出各个构件的受力图与系统整体的受力图。
> 
> 解：
> 
> - 画法 1
> 
> (1)先画系统整体的受力图。取整体为研究对象，画出其简图，把整个系统刚化为刚体，主动力为 F 。系统在 A 处受有滚动支座的约束力 {F}\_{A} 作用，假设 {F}\_{A} 竖直向上; 在 C 处受到固定铰链支座的约束力，一般情况下可以用两个正交分力表示，但此处点 C 的约束力方向可以确定，其必为竖直方向，假设竖直向上，用 {\mathbf{F}}\_{c} 表示。这是因为，如果 C 处的约束力不是竖直方向的话，则其作用线必与主动力 \mathbf{F} 相交，根据三力平衡汇交定理，则 \mathbf{A} 处的约束力作用线也必与主动力 \mathbf{F} 相交，这与 {\mathbf{F}}\_{A} 沿竖直方向相矛盾。当然，将 C 处的约束力用两个正交分力表示也是可以的。系统整体的受力图如图 17b 所示。
> 
> ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_49_487_257_818_889_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/8/856ab21e90c98c2a7cd738508e484180bcbf5007.jpeg)
> 
> 图 17
> 
> (2)画杆 {BC} 的受力图。取杆 {BC} 为研究对象，C 处受到支座的约束力 {\mathbf{F}}\_{c} 作用，分析整体时已经得到。 D 处受到杆 {AD} 的作用力，因为杆 {AD} 是二力杆，所以 D 处的约束力沿着杆 {AD} 方向，用 {F}\_{D} 表示。 B 处通过圆柱铰链与杆 {AB} 连接，受到杆 {AB} 的作用力，可以用两个正交分力表示，但是因为点 C 和点 D 的约束力方向均已知，所以 B 处的约束力方向可由三力平衡汇交定理确定，用 {\mathbf{F}}\_{B} 表示。杆 {BC} 的受力图如图 17c 所示。
> 
> (3)画杆 {AB} 的受力图。取杆 {AB} 为研究对象，画出其简图。此处需要注意，因为点 A 连接有三个构件 (杆 {AB} 、杆 {AD} 和滚动支座 A )，当铰链连接有三个或三个以上构件 (或受力)，将铰链分开时，需要明确销的位置，销放置在不同的位置，受力图是不一样的。选择 A 点不带销。杆 {AB} 首先受主动力 \mathbf{F} 作用，在点 B 受到杆 {BC} 的反作用力 {\mathbf{F}}\_{B}^{\prime } 作用；因为点 A 不带销，所以点 A 受到的是来自销的作用力，可用两个正交分力表示，但此处可用三力平衡汇交定理确定其方向，用 {\mathbf{F}}\_{AB} 表示。此时，杆 {AB} 的受力图如图 17d 所示。
> 
> (4)画杆 {AD} 的受力图。取杆 {AD} 为研究对象，点 A 带销，画出其简图。在点 D 受到杆 {BC} 的反作用力 {\mathbf{F}}\_{b}^{\prime } 作用；点 A 带有销，杆 {AD} 与销之间的作用力属于内力，该点所受的外力(约束力) 为销受到的来自杆 {AB} 的反作用力 {F}\_{AB}^{\prime } 和滚动支座的作用力。滚动支座的作用力在整体分析时已得到，为 {\mathbf{F}}\_{A} 。此时，杆 {AD} 的受力图如图 17e 所示。注意，杆 {AD} 仍为二力杆，只是点 A 受两个力的作用，此二力的合力与 {\mathbf{F}}\_{D}^{\prime } 平衡。
> 
> 以上是将点 A 的销放置在杆 {AD} 上时，各构件受力图的画法。也可将销放置在杆 {AB} 上，此时画出的杆 {AB} 和杆 {AD} 的受力图结果有所不同，但整体和杆 {BC} 的受力图是一样的，此处不再重复。
> 
> - 画法 2
> 
> (1)画杆 {AB} 的受力图，点 A 带销。同样地，杆 {AB} 首先受主动力 \mathbf{F} 作用，在点 B 受到杆 {BC} 的反作用力 {F}\_{B}^{\prime } 作用；因为点 A 带销，所以点 A 与销钉之间的作用力属于内力，点 A 受到的外力为滚动支座的作用力 {\mathbf{F}}\_{A} 和杆 {AD} 的作用力。杆 {AD} 为二力杆，所以作用在点 A 的力沿着杆 {AD} 方向，用 {\mathbf{F}}\_{DA} 表示。此时，杆 {AB} 的受力图如图 17f 所示。注意，此时对杆 {AB} 不能应用三力平衡汇交定理，虽然点 A 受到的两个力可以合成为一个力，并且其与 \mathbf{F}\text{、}{\mathbf{F}}\_{B}^{\prime } 的作用线汇交于一点，但因为这两个力都有各自明确的施力物体，本质上不是一个力，所以不能用合力表示。
> 
> (2)画杆 {AD} 的受力图，因为销已置于杆 {AB} 上，所以点 A 不带销。杆 {AD} 为二力杆。同样地，在点 D 受到杆 {BC} 的反作用力 {F}\_{D}^{\prime } 作用; 点 A 不带销，所以点 A 受到的是来自销的反作用力 {F}\_{DA}^{\prime } ，其与 {F}\_{D}^{\prime } 满足二力平衡条件。此时，杆 {AD} 的受力图如图 17g 所示。
> 
> 也可以将销单独考虑，这样分析杆 {AB} 和杆 {AD} 的受力时就都不需要带销，受力图的画法又有所不同。
> 
> - 画法 3
> 
> (1)画杆 {AB} 的受力图，点 A 不带销。其受力情况与画法 1 相同，受力图如图 17d 所示。
> 
> (2)画杆 {AD} 的受力图，点 A 不带销。其受力情况与画法 2 相同，受力图如图 17g 所示。
> 
> (3)此时需要单独分析销 A 的受力。销 A 受到来自杆 {AD} 的作用力 {\mathbf{F}}\_{DA} ，杆 {AB} 的作用力 {\mathbf{F}}\_{AB}^{\prime } 和滚动支座的约束力 {\mathbf{F}}\_{A} ，这三个力相互平衡，其受力图如图 17h 表示。

> 例 5 图 18a 所示的平面构架，由杆 {AB}\text{、}{DE} 与 {DB} 铰接而成。 A 为滚动支座，E 为固定铰链支座。钢丝绳一端拴在 K 处，另一端绕过定滑轮 \mathrm{I} 和动滑轮 \mathrm{{II}} 后拴在销 B 上。物重为 P ，各杆及滑轮的自重不计。
> 
> (1)分别画出各杆、各滑轮、销 B 及整个系统的受力图；
> 
> (2)画出销 B 与滑轮 \mathrm{I} 一起的受力图；
> 
> (3)画出杆 {AB} ，滑轮 I 、II ，钢丝绳和重物作为一个系统时的受力图。
> 
> 解： (1) 画杆 {BD} 的受力图，取杆 {BD} 为研究对象 ( B 处不带销)。由于杆 {BD} 为二力杆，故在铰链中心 D\text{、}B 处分别受 {\mathbf{F}}\_{DB}\text{、}{\mathbf{F}}\_{BD} 两个力的作用，其中 {\mathbf{F}}\_{BD} 为销给孔 B 的约束力，其受力图如图 18b 所示。
> 
> (2)画杆 {AB} 的受力图，取杆 {AB} 为研究对象( B 处仍不带销)。 A 处受有滚动支座的约束力 {\mathbf{F}}\_{A} 的作用，C 处为铰链约束，其约束力用两个正交分力 {\mathbf{F}}\_{Cx}\text{、}{\mathbf{F}}\_{Cy} 表示，B 处受有销给孔 B 的约束力，亦用两个正交分力 {F}\_{Bx} 、 {F}\_{By} 表示，方向假设如图所示。杆 {AB} 的受力图如图 18c 所示。
> 
> (3)画杆 {DE} 的受力图，取杆 {DE} 为研究对象。其上共有 D\text{、}K\text{、}C\text{、}E 四处受力，D 处受二力杆给它的约束力 {F}\_{DB}^{\prime } 作用，K 处受钢绳的拉力 {F}\_{K} 作用，铰链 C 处受到杆 {AB} 在 C 处对杆 {DE} 的反作用力 {\mathbf{F}}\_{Cx}^{\prime } 、 {\mathbf{F}}\_{Cy}^{\prime } 作用，E 处为固定铰链支座，其约束力用两个正交分力 {\mathbf{F}}\_{Ex} 、 {\mathbf{F}}\_{Ey} 表示，杆 {DE} 的受力图如图 18d 所示。
> 
> (4)画轮 I 的受力图，取轮 I 为研究对象 (B 处不带销)。在绳和轮的离开处断开，其上受有两段绳的拉力 {F}\_{1}^{\prime } 和 {F}\_{K}^{\prime } 作用，还有销 B 对孔 B 的约束力 {F}\_{B1x}\text{、}{F}\_{B1y} 作用，其受力图如图 18e 所示。亦可根据三力平衡汇交定理，确定铰链 B 处约束力的方向，如图中虚线所示。
> 
> ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_51_429_263_882_966_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/a/af0536e7aba1578d806ae7a6667dbd2dde09fd5e.jpeg)
> 
> 图 18
> 
> (5)画轮 II 的受力图，取轮 II 为研究对象。其上受三段绳的拉力 {\mathbf{F}}\_{1} 、 {\mathbf{F}}\_{B} 与 {\mathbf{F}}\_{2} 作用。轮 II 的受力图如图 18f 所示。
> 
> (6)画销 B 的受力图，单独取销 B 为研究对象。它与杆 {DB} 、 {AB} 、轮 \mathrm{I} 与钢丝绳四个物体连接，因此，这四个物体对销都有力作用。二力杆 {DB} 对它的反作用力为 {F}\_{BD}^{\prime } ，杆 {AB} 对它的反作用力为 {F}\_{Bx}^{\prime }\text{、}{F}\_{By}^{\prime } ，轮 \mathrm{I} 给销 B 的反作用力为 {F}\_{B1x}^{\prime }\text{、}{F}\_{B1y}^{\prime } ，还受到钢丝绳对销 B 的拉力 {F}\_{B}^{\prime } 的作用。销 B 的受力图如图 18g 所示。
> 
> (7)画整个系统的受力图，取整体为研究对象。把整个系统刚化为刚体，其上铰链 B\text{、}C\text{、}D 处与钢丝绳各处的作用力均为内力，故可不画。系统的外力除主动力 \mathbf{P} 外，还有约束力 {\mathbf{F}}\_{A} 与 {\mathbf{F}}\_{Ex} 、 {\mathbf{F}}\_{Ey} 作用，整体受力图如图 18h 所示。
> 
> (8)画销 B 与滑轮 \mathrm{I} 一起的受力图，取销 B 与滑轮 \mathrm{I} 一起作为研究对象。销 B 与滑轮 \mathrm{I} 之间的力为内力，不用画出。其上除受三绳拉力 {\mathbf{F}}\_{B}^{\prime }\text{、}{\mathbf{F}}\_{1}^{\prime } 和 {\mathbf{F}}\_{K}^{\prime } 外，还受到二力杆 {BD} 与杆 {AB} 在 B 处对它的力 {F}\_{BD}^{\prime } 和 {F}\_{Bx}^{\prime }\text{、}{F}\_{By}^{\prime } 的作用。其受力图如图 18i 所示。
> 
> (9)画杆 {AB} ，滑轮 I 、II ，钢丝绳和重物为一个系统时的受力图；取杆 {AB} ，滑轮 I 、III，钢丝绳和重物为一体作为研究对象。把此系统刚化为一个刚体，这样，销 B 与杆 {AB} ，滑轮 \mathrm{I} 、 \mathrm{{II}} ，钢丝绳之间的力，都是内力，可不画。系统上的外力有主动力 \mathbf{P} ，约束力 {\mathbf{F}}\_{A} 、 {\mathbf{F}}\_{BD}^{\prime } 与 {\mathbf{F}}\_{Cx} 、 {\mathbf{F}}\_{Cy} 外，还有 K 处的钢丝绳拉力 {F}\_{K}^{\prime } 。其受力图如图 18j 所示。
> 
> 此例中铰链 B 连接有杆 {DB} 、杆 {AB} 、滑轮 \mathrm{I} 和钢丝绳四个构件，因此，在将各构件在 B 处分离时必须明确销的位置。

正确地画出物体的受力图，是分析、解决力学问题的基础。画受力图时必须注意以下几点：

- (1)必须明确研究对象，画出其分 (隔) 离体图。根据求解需要，可以取单个物体为研究对象，也可以取由几个物体组成的系统 (有的称之为子系统) 为研究对象。一般情况下，不要在整个系统的简图上画某一物体或某子系统的受力图。

- (2)正确确定研究对象受力的数目。主动力、约束力均是物体受力，均应画在受力图上。所取研究对象 (分离体) 和其他物体接触处，一般均存在约束力，要根据约束特性来确定，严格按约束性质来画，不能主观臆测。

- (3)注意作用力和反作用力的画法，作用力的方向一旦假定，图上的反作用力一定与之反向。

- (4)注意二力构件(杆)的判断，是二力构件(杆)最好按二力构件(杆)画受力图。

- (5)物体与物体未拆开(分离)处相互作用的力称为内力，内力一律不画在受力图上。

- (6)受力分析过程不要用文字写出，按要求画出受力图即可。

## 6 力学模型与力学简图

把力学模型用简单的图形表示出来，称为力学简图。对任何实际的力学问题进行分析、计算时，都要将其抽象为力学模型。

在建立力学模型时，要抓住关键、本质的因素，忽略次要的因素。例如，图 5 所示的圆柱，它在受力时肯定会变形，但我们忽略它的变形，把它看成是刚体。它的几何形状不可能是严格数学意义上的圆形，但我们把它看成是圆形。它是三维的物体，我们把它简化为平面问题。圆柱的重心不会恰好在图中的圆心，但我们将圆柱材料看成是均匀的，几何形状是圆形，因此其重心在圆心。 A\text{、}C 处的约束也不会绝对光滑，但我们忽略摩擦； A\text{、}C 处实际上是面接触，但我们简化为平面问题中的点接触，如此才能用集中力 {\mathbf{F}}\_{\mathrm{N}A}\text{、}{\mathbf{F}}\_{\mathrm{N}C} 表示约束力; 等等。可见，将一个实际问题简化为力学模型，要在多方面进行抽象化处理。

### 6.1 简支梁的力学模型

图 19 所示是一种常见的力学模型，一般称为简支梁。那么，什么样的实际力学问题可以用此力学模型来表示?

它可以是由一实际单跨水泥桥梁简化而来，如图 20 所示。水泥桥梁直接放在桥墩上。固定铰链支座并不是如图 10 所示由销与穿孔的底座构成。滚动支座也不是如图 11a 所示在底座和基础之间垫上滚子构成。 但因为桥梁直接放在桥墩上，接触处的摩擦可以限制桥梁产生很大的水平位移，所以就相当于有一固定铰链支座。又因为物体的弹性，桥梁可以自由热胀冷缩，所以就相当于垫有滚子。因此，实际的单跨水泥桥梁可以简化为图 19 所示的力学模型。

![bo_d3u3rebef24c73d22vag_53_492_645_333_64_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/0/0cca886c053188776dd4bab8068a400692473cd2.jpeg)

图 19

![bo_d3u3rebef24c73d22vag_53_944_634_361_87_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/2/260d44bc2aa148ad6212e3ae2bd5666fc3e20d5c.jpeg)

图 20

类似的实际问题还有两端直接放在河岸上的独木桥；两端直接放在砖墙上的木梁。由于同样的原因，均可用图 19 所示的力学模型表示。

### 6.2 平面桁架的力学模型

工程中，房屋建筑、桥梁、起重机、油田井架、电视塔等结构物常用桁架结构。

桁架是一种由直杆在两端用铰链连接且几何形状不变的结构，桁架中各杆件的连接点被称为节点。若桁架中各杆件轴线均在同一平面内 (几何平面)，且载荷也位于此平面内的桁架被称为平面桁架。平面桁架就是一种简化后的力学模型。 实际中的许多结构均可简化为平面桁架。

图 21a 所示为一木屋架示意图，经简化后，其力学模型如图 21d 所示，为一平面桁架。此屋架两端直接放在墙上，两端并不是由如图 10 所示和图 11 所示的固定铰链支座和滚动支座构成，但如上所述，两端可用如图所示固定铰链支座与滚动支座表示。

 ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_53_958_1216_505_624_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/a/ab690d6087e6c5b65690753300b76749bdc64799.jpeg)

图 21

此屋架中的五根竖直杆可为铁条或木头，其他主要部分为木头。局部①处为螺栓连接，如图 21b 所示，局部②处用螺帽加箍钉连接，如图 21c所示。其各连接处并不是图 10 所示的圆柱形铰链连接方式，但可以简化为圆柱形铰链连接。原因是这种约束主要限制杆件的线位移，而不是角位移。如同一直细铁条，细铁条短，其轴线为直线; 细铁条长，则自然会弯曲。因为杆比较细长，杆件绕连接处 (点) 有些微转动，这种连接 (约束) 限制不了杆件的转动，所以可简化为铰链连接。

实际上，这些连接处还可以是铆接、焊接等，如图 22 所示。如果全是木质结构，这些连接处还可以是榫卯连接。

 ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_54_388_384_689_267_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/a/afef4b8b992c51a1b424c263513800090315fe20.jpeg)

图 22

因此，铰链连接可以是图 10 所示的连接方式，但在很多实际结构中，螺栓连接、铆接、焊接、榫卯连接等均可看作铰链连接。

实际中的桁架，各杆件均有自重，其载荷也不作用在节点上，这样计算起来非常复杂。为了满足工程要求且简化计算，通常用力系等效替换的方法，把所有载荷均等效到节点上，如图 21d 所示。

图 21d 所示就是图 21a 所示实际屋架简化的力学模型，计算图 21a 所示实际屋架的受力，就是通过计算图 21d 所示的力学模型来完成的。

### 6.3 人体中的力学模型

在力学研究中，一般把人体骨骼抽象为刚体，关节处抽象为铰链，肌肉可看作柔索，即可建立人体的力学模型。

如图 23a 所示，人的胳膊呈 90° 手握一重物，其重心位于点 {C}\_{1} ，小臂重心位于点 {C}\_{2} ，重量均为已知。小臂骨可抽象为一直杆，骨关节 B 处可抽象为一铰链，肌肉 {CD} 可视为一柔索(或拉杆)，则抽象出的力学模型如图 23b 所示。给出载荷和尺寸就可计算肌肉 {CD} 与骨关节 B 处的受力。

 ![bo_d3u3rebef24c73d22vag_54_300_1479_870_399_0](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/9/9cca95f5d617326b9305e113e96e7f2d621131d9.jpeg)

图 23