# “第二强度理论”之：最大伸长线应变理论

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**Category:** Theoretical\
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**Created:** [2025 年1 月 12 日 05:08 UTC](https://www.cax.do/t/topic/247 "2025-01-12T05:08:28Z")\
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作者： ![Sbadakesi](https://www.cax.do/user_avatar/www.cax.do/sbadakesi/32/5_2.png) [@Sbadakesi](https://www.cax.do/u/Sbadakesi)\
发布日期： [2025 年1 月 12 日 05:08 UTC](https://www.cax.do/t/topic/247/1 "2025-01-12T05:08:28Z")

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一般认为，第一强度理论（最大拉应力理论）是由拉梅 (Gabriel Lamé, 1795-1870) 和兰金 (William John MacquornRankine, 1820-1872) 独立提出来的。第一强度理论认为，当材料中的第一主应力_σ_1 达到材料能承受的最大应力时，材料将发生脆性断裂。第一强度理论的提出，使工程师的结构设计从经验设计阶段步入到了依据理论分析结果的科学设计阶段。

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图1 (a) 拉梅，法国数学家、力学家；(b) 兰金，英国工程师、力学家  
然而，对于三向受压结构的破坏，就难以利用第一强度理论进行合理的解释。三向压缩状态下，材料的三个主应力均为压应力，不受拉应力作用，理论上不会发生断裂，但对于某些材料在三向压缩下也会发生断裂，这就不能用第一强度理论解释。

现在我们知道，第二强度理论（最大线应变理论）认为当材料的最大线应变超过材料的变形极限时，材料将发生断裂。设材料在某点受主应力状态为 -\sigma \_{1} ，-\sigma \_{2} ，-\sigma \_{3} （负号表示受压），则根据虎克定律，其最大线应变为  
\varepsilon \_{1} =\frac{1}{E} \left [-\sigma \_{1}+\mu \left ( \sigma \_{2} +\sigma \_{3} \right ) \right]

显然，虽然三个主应力小于0，但是当 \mu \left ( \sigma \_{2} +\sigma \_{3} \right ) \> \sigma \_{1} 时，线应变 \varepsilon \_{1} \> 0，当该应变值超过材料变形的极限值时材料也会发生断裂，这就解释了三向受压状态下的材料断裂。

最早认识到材料变形到一定程度会引起材料破坏的是享有法国实验物理学之父美誉的马略特 (Edme Mariotte, 1620-1684)。马略特最为著名的贡献是他与玻义耳 (Robert Boyle, 1627-1691) 先后独立发现的“玻义耳-马略特定律”。1666年，路易十四成立法国科学院，马略特被遴选为第一批会员。

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图2 马略特

17世纪80年代，马略特曾负责设计一条通向凡尔赛宫的供水管线，由于设计需求，他对梁的抗弯强度产生了兴趣，他利用木杆和玻璃杆做了实验，如下图a 表示在他的木材拉伸试验中所采用的装置，b为纸的拉伸试验，得出了许多重要结果。

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图3 马略特的强度试验  
1686年，马略特发表了《论水和其他液体的流动》，修正了伽利略求解梁发生断裂时“绝对抗力”的求解公式。伽利略认为梁的“绝对抗力”为  
W=\frac{1}{2} \frac{TD}{L}   
其中，_W_ 为梁的绝对抗力（断裂载荷），_T_ 是通过悬臂梁中心纵向作用力，_D_ 是梁的高度，_L_ 是梁长。马略特通过实验证明上式中的系数应该为1/3或1/4，而不是1/2。

更进一步，他还发现所有试验过的材料中，其伸长量都与所加的力成正比，他断定：当材料的伸长量超过某一极限时材料将发生断裂。这很可能是人们第一次将材料断裂与材料伸长联系起来。马略特的工作至少有两个重要意义，其一。是他提出材料变形与所加力成正比，这也是材料变形中的虎克定律，虎克大约在1687年将虎克定律引入梁的变形分析中；其二，马略特梁理论的提出，为工程界提供了重要分析和设计工具。

法国数学家、工程师吉拉德 (Pierre-Simon Girard, 1765-1836) 在他所著的《固体抗力分析》(1798) 中提到，伽利略梁理论和马略特梁理论一直到18世纪末都在广泛应用。在判定梁的断裂破坏时，人们在选择以应力还是选择应变为判定准则上并没有形成一致的标准，大多由工程师根据自己的喜好和经验来选择相应的理论，这也造成了理论选择上的争论。

19世纪随着纳维 (Claude-LouisNavier, 1785-1836)、柯西 (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857)、圣维南 (Adh´emar J.C.Barr´e de Saint Venant, 1797-1886) 等人对弹性理论的完善，人们也逐渐认识了固体材料在变形过程中任意点的应力状态和应变状态，也为第一强度理论和第二强度理论的提出奠定了基础。

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/8/88a7db67745ec1e064432e0574c17ae4b953a5a1.jpeg)  
图4 (a) 纳维；(b) 柯西；(c) 圣维南  
1855年，兰金在论文On Axes of Elasticity and Crystalline Forms中，讨论主应力轴 (Principal euthytatic Axis) 以及弹性对称平面和材料的弹性常数，给出了主应力的求解方法，并且认为“材料开裂面法线方向很可能就是具有最小弹性的主轴方向”，为第一强度理论分析奠定了理论基础。第二强度理论的广泛使用，得益于法国两位力学教授的支持和推广，一位是彭赛列 (Jean-Victor Poncelet, 1788-1867)，另一位是圣维南 (Adh´emarJ.C.Barr´e de Saint Venant, 1797-1886)。

彭赛列 (Poncelet) 于1810年毕业于巴黎综合理工学院，立志从事军事工程，而后进入了炮兵工程学院（位于梅斯Metz）学习两年，之后晋升为中尉。1812年6月参加了拿破仑的俄国战役，11月由于拿破仑战败被俘。1813年3月至1814年6月，彭赛列在萨拉托夫监狱 (Saratov prison) 中回顾了上学时学过的几何学，并继续发展了圆锥曲线的射影性质，并提出了射影几何学，他也成为了现代射影几何学的奠基人之一。

彭赛列与力学结缘，主要是在战争结束之后，他被释放返回法国之后的工作。从1815年到1825年，彭赛列担任了梅斯的工程师队长，此后，又担任了炮兵学院力学教授职务长达10年，1834年当选为法国科学院力学分部的会员（1795年认定力学为其中一个分部），1835年在巴黎防御工事委员会任职，1848年又担任巴黎综合理工学院的校长一职。

这些经历使彭赛列对材料和工程结构的强度产生了浓厚的兴趣。在如何选择安全应力这个问题上，彭赛列支持选择最大应变作为材料破坏的判定依据，并进一步肯定了最大应变达到某一定限时材料是材料发生破坏的根本原因。这一理论很容易用来解释像石料和铸铁等脆性材料在受压情况下的断裂破坏，因此在建筑工程上逐渐得到了推广。

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/e/e593c63a0ef8b14b75cf51f2d0b76b54487d311c.jpeg)  
图5 彭赛列

第二强度理论的另一支持者，圣维南 (Saint Venant, 见图4c) 16岁（1813年）便经过选拔考试进入巴黎综合理工学院，并在班级中脱颖而出。毕业后进入火药工厂当了8年助手 (1815-1823)，而后被批准进入巴黎高科道桥学院 (École des Ponts ParisTech) 学习，毕业后在尼佛莱斯 (Nivernais) 运河和阿登尼斯 (Ardennes) 运河上工作了12年，这期间圣维南在业余时间开展理论力学和流体动力学的研究并取得了重要的成果，这使他在法国科学界出了名。

1837年，桥梁道路学院邀请圣维南 (Saint Venant) 到该校讲授材料力学，这使得圣维南有了深入研究和传播力学理论的机会。圣维南在选择梁的安全尺寸时，特别强调应该选择最大应变（而不是应力）作为选定容许应力的基础。例如，依据最大线应变理论有  
\varepsilon \_{1} =\frac{1}{E} \left [\sigma \_{1} -\mu \left ( \sigma \_{2} +\sigma \_{3} \right ) \right]\< \varepsilon \_{u }   
其中，\varepsilon \_{u} 表示许用应变，可表示为  
\varepsilon \_{u} =\left ( \frac{\sigma \_{b} }{E} \right ) /n  
_n_ 表示安全系数。将 \varepsilon \_{u} 表达式代入线应变理论公式，得到第二强度理论的应力表达  
\sigma \_{1} -\mu \left ( \sigma \_{2} +\sigma \_{3} \right ) \< \frac{\sigma \_{b} }{n}

可见，第二强度理论与第一强度理论相比，第二强度理论考虑三个主应力，形式上比第一强度理论更为全面。在圣维南的推广下，综合理工培养出的一大批工程师也成为第二强度理论的支持者。与此同时，圣维南还担任了巴黎市政工程的一些具体工作，这为他践行第二强度理论的提供了条件。

1868年，圣维南 (Saint Venant) 以他在力学研究上的威望，当选为法国科学院力学分部的会员，接替彭赛列 (Poncelet) 的工作，此后直到圣维南去世，圣维南一直都是法国科学院的力学权威。在圣维南的支持下，第二强度理论也得到极大的推广，人们也称第二强度理论为圣维南强度理论 (St. VENANT’S THEORY)。

19世纪后期，整个欧洲（除了英国，提出第一强度理论的兰金是英国人）都在采用第二强度理论进行结构设计，第二强度理论逐渐有取代第一强度理论的趋势。不过，后来人们在一些实验中（例如铸铁薄壁圆管受内压、轴向拉（压）、扭转联合作用实验）发现，第二强度理论并不比第一强度理论更符合试验结果。因此，第二强度理论的出现并没有取代第一强度理论。

从理论上看，针对于不同的受力状态，可通过比较 \sigma \_{1} 与 \sigma \_{1} -\mu \left ( \sigma \_{2} +\sigma \_{3} \right ) 的大小选择偏于安全的强度理论。例如，对于三向拉伸或二向拉伸状态，有 \sigma \_{1} -\mu \left ( \sigma \_{2} +\sigma \_{3} \right ) \< \sigma \_{1} ，因此，选择第一强度理论 \sigma \_{1} \< \left [\sigma \right] （许用应力）校核就偏于安全。而当 \mu \left ( \sigma \_{2} +\sigma \_{3} \right ) \< 0 时，有 \sigma \_{1} \<\sigma \_{1} -\mu (\sigma \_{2} +\sigma \_{3} ) ，则选择第二强度理论（如上式）进行校核偏于安全。不过，由于第二强度理论与大多数的实验结果并不相符，而且第一强度理论分析简便，对于可同时选用第一、第二强度理论进行分析的，一般都选用第一强度理论，很少有人选用第二强度理论进行分析。

* * *

参考文献：

[1] [Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867) - Biography - MacTutor History of Mathematics](https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Poncelet/)

[2] Dietmar Gross. Some Remarks on the History ofFracture Mechanics

[3] [Museo Galileo - Edme Mariotte](https://catalogue.museogalileo.it/biography/EdmeMariotte.html)

[4] 武际可. 说梁-----力学史札记之十九[J]. 力学与实践, 2008, 30(6): 106-109.

[5] [French Academy of Sciences - Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/French_Academy_of_Sciences)

[6] 铁木辛柯. 材料力学史.

[7] 俞茂宏, 彭一江. 强度理论百年总结[J]. 力学进展, 2004, 34(004):529-560.