# 抗剪强度=0.58×抗拉强度的原因分析

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**Category:** Theoretical
**Tags:** material
**Created:** [2024 年12 月 21 日 11:20 UTC](https://www.cax.do/t/topic/236 "2024-12-21T11:20:50Z")
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### 作者： ![Sbadakesi](https://www.cax.do/user_avatar/www.cax.do/sbadakesi/32/5_2.png) [@Sbadakesi](https://www.cax.do/u/Sbadakesi)
#### 发布日期： [2024 年12 月 21 日 11:20 UTC](https://www.cax.do/t/topic/236/1 "2024-12-21T11:20:50Z")

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工程上，钢材的剪切强度一般取为拉伸强度的0.58倍，即 \tau =0.58\sigma 。

在Ferdinand P.Beer等人著作的《MECHANICS OF MATERIALS》中：

**0.58是钢材在纯剪切情况下，根据第四强度理论计算得来。**

这里有俩概念：

一是 **纯剪切状态** ，根据《材料力学》的描述，纯剪切本质上是拉-压二向应力状态；

二是 **第四强度理论** 。

推导过程中将涉及 **应变能** 、 **应变能密度** 、 **韧性模量** 、 **回弹模量** 、 **畸变能** 等听起来复杂实则非常易于理解的概念。

## 应变能

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/c/c442c60cd11d016193f618369fd539f2d3a0c156.jpeg)

图1 拉力P对杆件做功

正如图1里看到的，杆件在单轴受拉情况下，作用力P导致其产生微小的位移dx。所做的功（单位J-焦耳，1焦耳=1N·m）为：  
dU=Pdx （1）  
积分形式：  
U=\int\_{0}^{x\_{1} } Pdx （2）  
也就是说，拉力P作用下导致拉杆发生变形所做的总功为图2力-位移曲线中x1段的面积。P做的功导致了与杆件变形相关的能量的增加，这种能量U被称为杆件的“应变能”。

在线弹性受力情况下，力和位移呈线性正相关，所以根据公式（2）可以得到应变能和力 P=kx （k为直线斜率）以及位移x的函数关系式：  
U=\int\_{0}^{x\_{1} } Pdx=\int\_{0}^{x\_{1} } kxdx=\frac{1}{2} kx\_{1}^{ 2} （3）

## **应变能密度**

在P作用下，对于均质材料其单位体积所产生的应变能为：  
\frac{U}{V} =\int\_{0}^{x} \frac{P}{A} \frac{dx}{L} (4)  
根据胡克定律，P/A为截面应力 \sigma \_{x} ；x/L为正应变 \varepsilon \_{x} 。所以进一步得到：  
u=\frac{U}{V} =\int\_{0}^{\varepsilon }\sigma \_{x} d\varepsilon \_{x} （5）  
**应变能与杆件体积的比值被称为“应变能密度”，用u表示。**

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图3

图3意思是：当拉力P导致杆件发生塑性变形时，即应变从0发展到 \varepsilon \_{1} ，此时撤消拉力P，杆件截面应力回归到0，与此同时杆件会发生一定回弹，最终应变是 \varepsilon \_{p} ，应变的回弹量为 \varepsilon \_{1} -\varepsilon \_{p} 。

图3中深色区域的面积即为恢复的应变能密度，而浅色区域的面积与杆件体积相乘，就是拉伸过程中产生并耗散掉的热量。

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/8/8509a95aca9cdac1ce8af466812ce41df84997b2.png)

图4

把材料断裂时的极限应变带入公式（5）得到的数值，就被叫做材料的“ **韧性模量** ”，其数值等于图4中全部的浅色区域面积，含义是“ **为使材料发生断裂所需要的应变能密度** ”。

但是如果截面应力位于弹性极限以内，即图4中的直线段，根据胡克定律：  
\sigma \_{x} =E\varepsilon \_{x} （6）  
将（6）带入公式（5）：  
u=\frac{U}{V} =\int\_{0}^{\varepsilon \_{1} } E\varepsilon \_{x} d\varepsilon \_{x} =\frac{E\varepsilon \_{1}^{2} }{2} =\frac{\sigma \_{1}^{2} }{2E} (7)

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/d/d561f88d5040314cc90623e652a63d817259bedd.png)

图5

把屈服强度 σ\_Y 带入公式（7），得到的应变能密度（图5浅色区域面积）又被称作材料的“ **回弹模数** ”，即：  
u\_{Y} =\frac{\sigma \_{Y}^{2} }{2E} (8)  
了解上述基本概念之后，咱们再看看 **3种** 不同应力状态下的应变能U&应变能密度u。

## **正应力下的弹性应变能**

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/a/a9517b165a829fed9966649274dc658e278fc7d4.jpeg)

图6

前面讲应变能密度的时候，举的例子是等截面杆件，应力的分布很均匀。但是对于图6中的变截面构件来说，其横截面应力分布并不均匀。对于这种情况，可截取一小段体积ΔV计算应变能密度：  
u=\frac{dU}{dV} (9)  
当线弹性阶段内某一点应力为 \sigma \_{x} ，应变为 \varepsilon \_{x} ，根据公式（8）同理可得该点应变能密度：  
u=\frac{\sigma \_{x} ^{2} }{2E} =\frac{1}{2} \sigma \_{x} \varepsilon \_{x} （10）  
那么根据公式（9），在单轴拉伸正应力作用下的ΔV这一小段的弹性应变能为：  
dU=udV （11)  
或  
U=\int \frac{\sigma \_{x} ^{2} }{2E} dV (12)  
在拉力P作用下，距离端部x处的横截面为A的截面应力为 \sigma \_{x} =P/A ，代入公式（12）得到：  
U=\int \frac{P ^{2} }{2EA^{2} } dV (13)  
其中dV是不规则微小段ΔV的体积，当它的长度足够小时，可以近似认为 dV=Adx ，再次代入公式（13）得应变能与微小段长度dx的函数关系表达式为：  
U=\int\_{0}^{L} \frac{P^{2} }{2EA} dx （14）  
当构件为等截面杆件时，A为定值，可以很容易根据公式（14）求出P作用下的应变能：  
U=\frac{P^{2} L}{2EA} (15)

## **剪切应力下的弹性应变能**

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/5/5c627a2d60b0854472f8f1d0f615b313dbad928f.png)

图7

当材料受到剪应力τxy时，结合图7剪应力-应变图和公式（5）同理可得应变能密度为：  
u=\int\_{0}^{Y\_{xy} } \tau \_{xy} d\gamma \_{xy} （16）  
应变能密度即为图7中浅色区域面积。

在线弹性阶段，剪切应力 \tau \_{xy} =G\gamma \_{xy} ，G为剪切弹性模量（或刚性模量）。将其代入公式（16）并求积分得：  
u=\frac{1}{2} G\gamma ^{2} \_{xy} =\frac{\tau \_{xy}^{ 2} }{2G} =\frac{1}{2} \tau \_{xy} \gamma \_{xy} （17）  
根据公式（9）和公式（12），同理可得剪切应力作用下弹性应变能：  
U=\int \frac{\tau \_{xy} ^{2} }{2G} dV (18)

## **复杂应力状态下的应变能**

前面介绍了正应力状态下和剪切应力状态下的弹性应变能。

实际上，几乎所有构件在工作时，都处于复杂应力状态，包括：正应力 \sigma \_{x} 、\sigma \_{y} 、\sigma \_{z} 和切应力 \tau \_{xy} 、\tau \_{yz} 、\tau \_{zx} 。

复杂应力状态下的应变能密度可通过公式（10）和（17）求得：  
u=\frac{1}{2} (\sigma \_{x} \varepsilon \_{x} +\sigma \_{y} \varepsilon \_{y} +\sigma \_{z} \varepsilon \_{z}+\tau \_{xy} \gamma \_{xy }+\tau \_{yz} \gamma \_{yz }+\tau \_{zx} \gamma \_{zx} ) （19）

把胡克定律 \varepsilon \_{x} =\sigma \_{x} /E 、\gamma \_{xy} =\tau \_{xy} /G 以及三向应力状态下单向应力对其它两个方向应变的影响（[这样理解‘泊松比’的概念](https://www.cax.do/t/topic/237)）代入公式（19）可得：

\begin{aligned} u = & \frac{1}{2E} [\sigma\_{x}^2 + \sigma\_{y}^2 + \sigma\_{z}^2 -2v(\sigma\_{x}\sigma\_{y} + \sigma\_{y}\sigma\_{z} + \sigma\_{z}\sigma\_{x})] \\ & + \frac{1}{2G}(\tau\_{xy}^2 + \tau\_{yz}^2 + \tau\_{zx}^2) \end{aligned} （20）

假设某一点坐标为（a,b,c），在三轴拉应力作用下，剪应力为0，那么就有：

u=\frac{1}{2E} \left [\sigma \_{a} ^{2} +\sigma \_{b} ^{2}+\sigma \_{c} ^{2}-2 v\left ( \sigma \_{a} \sigma \_{b } +\sigma \_{b} \sigma \_{c } +\sigma \_{c} \sigma \_{a} \right ) \right] （21）

说到这里，需要提醒大家的是，单位长度的立方体在三向应力作用下，不仅体积发生变化而且形状也会发生变化（畸形）。那么复杂应力状态下的应变能密度u就被分成了两部分：体积改变能密度 u\_{v} 和畸变能密度 u\_{d} ：

u=u\_{v} +u\_{d} (22)  
我们知道，单位体积的改变只与三个主应力之和 \sigma \_{a} +\sigma \_{b} +\sigma \_{c} 有关，三个主应力各自分摊的比例如何并不重要。

也就是说，用三个主应力平均值 (\sigma \_{a} +\sigma \_{b} +\sigma \_{c} )/3 代替 \sigma \_{a} 、\sigma \_{b} 、\sigma \_{c} ，单位体积的改变与 \sigma \_{a}、\sigma \_{b} 、\sigma \_{c} 共同作用的情况一样。我们在这里可以引入平均应力：  
\bar{\sigma } =\frac{\sigma \_{a}+\sigma \_{b} +\sigma \_{c}}{3} (23)

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/a/ae32cc4279c71fca2ca95bc6bbb7eb27d6c09fe6.png)

图8

如图8所示，可设：  
\sigma \_{a} =\bar{\sigma } +\sigma \_{a} ^{'} (24)  
\sigma \_{b} =\bar{\sigma } +\sigma \_{b} ^{'} (25)  
\sigma \_{c} =\bar{\sigma } +\sigma \_{c} ^{'} (26)  
\sigma \_{a} ^{'} 、\sigma \_{b} ^{'} 、\sigma \_{c} ^{'} 分别是 \sigma \_{a} 、\sigma \_{b} 、\sigma \_{c} 与平均应力的差值，且差值之和为0：  
\sigma \_{a}^{ '} +\sigma \_{b}^{ '}+\sigma \_{c}^{ '}=0 (27)

这就意味着三个差值有正有负，既有拉力也有压力，这样必然会导致单位体积产生变形（畸变）而体积不变（因为应力之和为0）。

说到这里，再想想图8提到的（a）状态下的应变能密度u分为体积改变能密度 u\_{v} 和畸变能密度 u\_{d} ，不难推断出两种能密度分别对应于（b）和（c）。

这下可以根据公式（21），把 \sigma \_{a} 、 \sigma \_{b} 、 \sigma \_{c} 替换成平均应力代入，求得体积改变能密度 u\_{v} ：  
u\_{v} =\frac{1}{2E} \left [3\bar{\sigma} ^{ 2} -2v\left ( 3\bar{\sigma ^{2} } \right ) \right] =\frac{3\left ( 1-2v \right ) }{2E} \bar{\sigma} ^{ 2} (28)  
或代入公式（23）得：  
U\_{v} =\frac{1-2v}{6E} (\sigma \_{a} +\sigma \_{b} +\sigma \_{c} )^2 (29)  
联系公式（22），可得畸变能密度：  
U\_{d} =u-u\_{v} =\frac{1+v}{6E} \left [\left ( \sigma \_{a} ^{2} -2\sigma \_{a} \sigma \_{b }+\sigma \_{b} ^{2} \right ) +\left ( \sigma \_{b} ^{2} -2\sigma \_{b} \sigma \_{c }+\sigma \_{c} ^{2} \right ) +\left ( \sigma \_{c} ^{2} -2\sigma \_{c} \sigma \_{a }+\sigma \_{a} ^{2} \right ) \right]   
再根据弹性模量和剪切模量的关系：  
E=2\left ( 1+v \right ) G  
代入以上公式得：  
u\_{d} =\frac{1}{12G} \left [{ \left ( \sigma \_{a} -\sigma \_{b } \right ) ^{2} + \left ( \sigma \_{b} -\sigma \_{c} \right ) ^{2} + \left ( \sigma \_{c} -\sigma \_{a } \right ) ^{2} } \right] (30)

对于单轴受拉杆件来说，如[这样理解‘泊松比’的概念](https://www.cax.do/t/topic/237/1)开头所说，y、z方向应力为0，所以 \sigma \_{b} =\sigma \_{c} =0，那么公式（30）就有：  
u\_{d} =\frac{\sigma \_{a} ^{2} }{6G} (31)  
当 \sigma \_{a} 达到材料屈服强度 \sigma \_{Y} 时，有畸变能密度：  
\left ( u\_{d} \right ) \_{Y} =\frac{\sigma \_{Y} ^{2} }{6G}   
如果公式（30）计算数值小于公式（31）的计算数值，就可以认为材料不会发生屈服：  
\left ( \sigma \_{a} -\sigma \_{b} \right ) ^{2} +\left ( \sigma \_{b} -\sigma \_{c} \right ) ^{2}+\left ( \sigma \_{c} -\sigma \_{a} \right ) ^{2}\< 2\sigma \_{\gamma} ^{2} (32)

**这就是最大畸变能理论，也被称为第四强度理论。**

一开头咱就说纯剪切本质上是拉-压二向应力状态，\sigma \_{a} =\tau ，\sigma \_{b} =0 ，\sigma \_{c} =-\tau

代入公式（32）有：  
\tau ^{2} +\tau ^{2} +\left ( -\tau -\tau \right )^{ 2} \< 2\sigma \_{\gamma} ^{2}   
\tau \< \frac{\sigma \_{Y} }{\sqrt{3} } \approx 0.58\sigma \_{\_{Y} } (33)  
公式（33）是材料在纯剪切情况下不发生屈服的条件，换句话说 0.58\sigma \_{\_{Y} } 就是材料发生屈服的临界点。