# k-ε 湍流模型的底层逻辑与设置

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**Category:** Theoretical
**Tags:** fluent
**Created:** [2026 年7 月 4 日 11:30 UTC](https://www.cax.do/t/topic/1201 "2026-07-04T11:30:20Z")
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### 作者： ![Sbadakesi](https://www.cax.do/user_avatar/www.cax.do/sbadakesi/32/5_2.png) [@Sbadakesi](https://www.cax.do/u/Sbadakesi)
#### 发布日期： [2026 年7 月 4 日 11:30 UTC](https://www.cax.do/t/topic/1201/1 "2026-07-04T11:30:20Z")

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## 1. 湍流模型的由来

### 1.1 从 NS 方程到雷诺平均 NS 方程

湍流的本质是随机、杂乱、多尺度的。在湍流中，任意物理量的瞬时值看起来像一条剧烈抖动的曲线。

因此直接求解原始 NS 方程即直接数值模拟（DNS）要求网格细到能抓住最小的湍流涡。因此对于网格尺寸和时间步长的要求都非常高。

原始 NS 动量方程（指标记号形式）：

\frac{\partial}{\partial t}(\rho u\_i) + \frac{\partial}{\partial x\_j}(\rho u\_i u\_j) = -\frac{\partial p}{\partial x\_i} + \frac{\partial}{\partial x\_j} \left[\mu \left( \frac{\partial u\_i}{\partial x\_j} + \frac{\partial u\_j}{\partial x\_i} - \frac{2}{3} \delta\_{ij} \frac{\partial u\_k}{\partial x\_k} \right) \right]

在一个 0.1 m × 0.1 m 的高雷诺数区域里，需要的网格量可以达到 10 亿到 1000 亿，时间步长要小于 100 微秒。这远远超出了普通工程计算的能力。

![640](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/f/fd2b9d2087aed54a4f160beba72f4dd433066bb2.gif)

为了解决这个计算上的问题，雷诺发现，湍流中瞬时物理量的曲线其实可以分解成两部分：平均值和脉动值：

u\_i = \bar{u}\_i + u'\_i

因为上下波动相互抵消，我们对脉动值求平均，结果永远是零。这一简单的性质，正是雷诺平均方法的数学基础。

原始的 NS 方程描述的是瞬时流动。把速度、压力都用"平均值 + 脉动值"代入，然后对整个方程做平均，就得到了雷诺平均 NS 方程，也就是 RANS：

\frac{\partial}{\partial t}(\rho \bar{u}\_i) + \frac{\partial}{\partial x\_j}(\rho \bar{u}\_i \bar{u}\_j) = -\frac{\partial \bar{p}}{\partial x\_i} + \frac{\partial}{\partial x\_j} \left[\mu \left( \frac{\partial \bar{u}\_i}{\partial x\_j} + \frac{\partial \bar{u}\_j}{\partial x\_i} - \frac{2}{3} \delta\_{ij} \frac{\partial \bar{u}\_k}{\partial x\_k} \right) \right] + \frac{\partial}{\partial x\_j} (-\rho \overline{u'\_i u'\_j})

与原始的 NS 方程对比，可以看到 RANS 比原始 NS 方程还多了一项——雷诺应力项：

\frac{\partial}{\partial x\_j} (-\rho \overline{u'\_i u'\_j})

也就是说，RANS 方程实际上是更加复杂的，那我们绕那么大的弯子转换方程的目的是什么？

我们转换方程并不是为了让方程形式上更简单，更好看，而是为了让方程更加容易求解。尽管 NS 方程形式上更加简单，但是其物理量全是瞬态量，每时每刻都在变化，这对求解精度的要求很高。

而 RANS 方程中的未知量是平均值，平均值在时间和空间上变化平缓，不需要捕捉微小的脉动。其对计算精度要求要低很多，我们可以使用较粗的网格和较大的时间步长去计算 RANS 方程。

同时，绝大多数工程问题关心的正是平均流场（比如管道平均速度、机翼平均升力）。所以 RANS 在满足工程精度的前提下，大幅降低了计算成本。

### 1.2 RANS 方程封闭性问题

我们决定用 RANS。但是把 RANS 方程写出来之后才发现：方程个数比未知量个数少。

**原始 NS 方程** ：4 个方程（质量 + 三个方向动量），4 个未知量（$u$、v、w、$p$），方程是封闭的，理论上可解。

连续性方程：

\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0

动量方程（以 x 方向为例）：

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)

（ y、z 方向动量方程形式类似。）

**RANS 方程** ：多出了雷诺应力项 \dfrac{\partial}{\partial x\_j} (-\rho \overline{u'\_i u'\_j})，这一项引入了 6 个新的未知量（因为 i、j 各取三个方向，对称所以是 6 个）。

方程数量没变，未知量却变多了，不封闭，没法直接求解。所以，我们必须要做一件事：把雷诺应力用已知的平均量表示出来。

用什么方法表示？这就引出了"湍流模型"——湍流模型的核心任务就是封闭 RANS 方程。

### 1.3 涡粘性假设

1877 年，Boussinesq 提出了一个天才的想法：

在层流里，粘性应力 \tau\_{ij} 和速度梯度（应变率）成正比，比例系数就是分子粘度 \mu：

\tau\_{ij} = \mu \left( \frac{\partial u\_i}{\partial x\_j} + \frac{\partial u\_j}{\partial x\_i} \right)

Boussinesq 假设：湍流里的雷诺应力，也可以和平均速度梯度成正比，只不过比例系数变成了"湍流粘度" \mu\_t。

公式长这样：

\tau\_{ij}^t = -\rho \overline{u'\_i u'\_j} = \mu\_t \left( \frac{\partial \bar{u}\_i}{\partial x\_j} + \frac{\partial \bar{u}\_j}{\partial x\_i} \right) - \frac{2}{3} \rho k \delta\_{ij}

其中 k 就是湍动能，\delta\_{ij} 是单位张量。

这个假设最大的贡献是：把 6 个雷诺应力未知量，转化成了只需要确定两个标量 \mu\_t （湍流粘度）和 k （湍动能）。

现在任务一下子就清晰了：只要我们能求出 \mu\_t 和 k，雷诺应力就知道了，RANS 方程就封闭了。

> 如何求 \mu\_t 和 k？

不同的人提出了不同的方法来确定 \mu\_t 和 k 。根据需要额外求解几个微分方程，就叫做几方程模型。

前面我们已经讲解了一方程模型 Spalart-Allmaras 模型，今天我们详细介绍一下二方程模型中的 k-ε 模型。

## 2. 几种 k-ε 模型

Fluent 软件中有三种 k-ε 模型，分别是标准 k-ε 模型、RNG k-ε 模型和 Realizable k-ε 模型。  
 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/8/86485db0de9852b4338da5f12f12fd6aade0062e.png)

### 2.1 标准的 k-ε 模型

在上文我们讲到，一方程模型需要人为给定湍流的长度尺度 l。长度尺度反映了涡的大小，直接影响湍流的混合能力。在一方程模型中，l 往往需要通过代数经验公式给出：

- **非常靠近壁面区** ：l \sim y^2
- **适度靠近壁面区** ：l \approx ky （ k = 0.4 \sim 0.41 ）
- **远离壁面区** ：l \approx (0.075 \sim 0.09)\delta，\delta 为边界层厚度
- 如果湍流为自由剪切流，则与远离壁面区相似，l \sim b(x)，b(x) 为射流宽度。

一旦流动几何复杂（如带分离、回流、多部件），这个长度尺度就很难准确给定。

而二方程中的 k-ε 模型不再需要经验指定长度尺度，适用范围广，成为工程主流。

k-ε 模型仍然沿用 Boussinesq 的涡粘性假设，比例系数是湍流粘度 \mu\_t，但其用湍动能 k 和耗散率 \varepsilon 来表示 \mu\_t：

\mu\_t = \rho C\_\mu \frac{k^2}{\varepsilon}

上述公式是通过量纲分析得到的，其中 C\_\mu 是一个经验常数约 0.09，即 Fluent 中 k-epsilon 湍流模型中的 Cmu 参数：

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/d/d97f50008ac56d56d92296b4f3477891dc00ad4c.png)

这个公式非常符合物理直觉，即湍流越强 k 越大，\mu\_t 越大；湍能耗散越快 \varepsilon 越大，\mu\_t 越小。

现在 \mu\_t 可以表示出来了，但是 k 和 \varepsilon 又怎么计算呢？k-ε 模型通过输运方程来求解 k 和 \varepsilon：

**k 方程** （描述湍动能的生成、扩散和耗散）：

\frac{\partial(\rho k)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho k u\_i)}{\partial x\_i} = \frac{\partial}{\partial x\_j} \left[\left( \mu + \frac{\mu\_t}{\sigma\_k} \right) \frac{\partial k}{\partial x\_j} \right] + G\_k - \rho \varepsilon

**\varepsilon 方程** （描述耗散率的生成、扩散和破坏）：

\frac{\partial(\rho \varepsilon)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho \varepsilon u\_i)}{\partial x\_i} = \frac{\partial}{\partial x\_j} \left[\left( \mu + \frac{\mu\_t}{\sigma\_\varepsilon} \right) \frac{\partial \varepsilon}{\partial x\_j} \right] + \frac{C\_{1\varepsilon}}{k} G\_k - C\_{2\varepsilon} \rho \frac{\varepsilon^2}{k}

生成项 G\_k 来自平均速度梯度做功，耗散项就是 \rho\varepsilon。\varepsilon 方程并非直接推导，而是仿照 k 方程的形式构造出来的，包含生成、扩散和破坏项。它决定了湍流耗散的速率，从而间接控制湍流长度尺度的演化。

结合 \mu\_t、k 和 \varepsilon 方程，可以看到公式里面出现了几个常数参数，分别是 C\_\mu、C\_{1\varepsilon}、C\_{2\varepsilon}、\sigma\_k、\sigma\_\varepsilon。1974 年 Launder & Spalding 给出了这些参数非常经典的数值：

| 参数 | 数值 |
| --- | --- |
| C\_\mu | 0.09 |
| C\_{1\varepsilon} | 1.44 |
| C\_{2\varepsilon} | 1.92 |
| \sigma\_k | 1.0 |
| \sigma\_\varepsilon | 1.3 |

之所以说这些参数经典，是因为后续的大量实验都验证了这些参数的正确性。因此除非有非常充足的理由，否则都不需要更改这些参数。

Fluent 软件中这些参数的默认值也是如此：

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/a/af9b8931bda6b0d71637d14856f05ef1cd67e195.png)

标准 k-ε 模型计算稳定，收敛性不错。而且有大量实验验证，对平板边界层、管流、射流精度可接受。几乎所有 CFD 软件的首选 RANS 模型。

但其也存在一些缺点，主要有：

- **无法处理强旋流** ：各向同性涡粘假设在强旋转流动中失效，预测的旋转效应偏弱。
- **圆管射流扩张过快** ：预测的射流宽度比实验宽约 40%，原因是模型过高估计了湍流粘度在射流中心的扩散。
- **近壁面依赖壁面函数** ：需要配合对数律壁面函数，在强压力梯度或分离区精度下降。

正是这些缺陷，催生了标准 k-ε 的两个著名改进版本：RNG k-ε 和 Realizable k-ε。

### 2.2 RNG k-ε 模型

RNG = Renormalization Group（重整化群），一种统计学理论方法。1986 年 Yakhot & Orzag 用数学推导修正了 \varepsilon 方程，得到 RNG k-ε。

\varepsilon 方程中增加一个附加源项 R\_\varepsilon：

\frac{\partial(\rho \varepsilon)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho \varepsilon u\_i)}{\partial x\_i} = \frac{\partial}{\partial x\_j} \left( \alpha\_\varepsilon \mu\_{eff} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x\_j} \right) + C\_{1\varepsilon} \frac{\varepsilon}{k} G\_k - C\_{2\varepsilon} \rho \frac{\varepsilon^2}{k} - R\_\varepsilon

其中新增项 R\_\varepsilon：

R\_\varepsilon = C\_\mu \rho \eta^3 \frac{1 - \eta / \eta\_0}{1 + \beta \eta^3} \frac{\varepsilon^2}{k}

其中：

\eta = \frac{Sk}{\varepsilon}, \quad S = \sqrt{2 S\_{ij} S\_{ij}}

常数 \eta\_0 = 4.38，\beta = 0.012。

如果我们把方程的 R\_\varepsilon 和 C\_{2\varepsilon} 这两项合并，\varepsilon 方程可以写成：

\frac{\partial(\rho \varepsilon)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho \varepsilon u\_i)}{\partial x\_i} = \frac{\partial}{\partial x\_j} \left( \alpha\_\varepsilon \mu\_{eff} \frac{\partial \varepsilon}{\partial x\_j} \right) + C\_{1\varepsilon} \frac{\varepsilon}{k} G\_k - C\_{2\varepsilon}^\* \rho \frac{\varepsilon^2}{k}

这个形式和标准 k-ε 模型的 \varepsilon 方程形式相同，但关键区别在于 C\_{2\varepsilon}^\* 不再是常数。

这样做的好处是在高应变率即 \eta 大的区域，比如强旋流、壁面弯曲处，C\_{2\varepsilon}^\* 会自动增大，从而增强 \varepsilon 方程中的破坏项，湍流耗散率 \varepsilon 会被"推高"，导致湍流粘度 \mu\_t 降低，从而削弱过于强烈的湍流混合，改善对旋流和分离的预测。

而在低应变率区域，\eta 趋向于 0，R\_\varepsilon 也会趋向于 0，此时 RNG 模型会变成标准的 k-ε 模型。

所以我们可以看到，RNG 模型对标准模型进行了拓展，使得标准模型对于高应变率的预测更加精确。同时 RNG 模型的常数取值也和标准模型不同，从理论上计算出 C\_\mu \approx 0.0845，其他参数取值为 C\_{1\varepsilon} = 1.42、C\_{2\varepsilon} = 1.68。

而在 Fluent 软件中，RNG 模型通常采用有效粘度比来插值得到 \sigma\_k、\sigma\_\varepsilon，不再使用固定值，因此界面中没有这两个参数的设置：

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/a/a0a881a6617bce1b2f38bd1eba9bef8daedabe50.png)

除了上述的参数设置，RNG 模型还有两个附带的选项，这部分内容我们在第三节的界面介绍中详细说明。  
 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/3/31d562fd09de6be07ccf65dc2b9c9d779a5e4b4d.png)

总结一下，RNG k-ε 模型对于强应变率敏感，对分离流和旋转流更准确，适用于射流、旋风分离器等流动。但其本质上仍然是针对高雷诺数的湍流模型，且会多消耗 10%–15% 左右的 CPU 时间。

### 2.3 Realizable k-ε 模型

前面我们介绍了标准的 k-ε 模型和 RNG k-ε 模型。标准的 k-ε 模型设置了 5 个常数参数，RNG k-ε 模型将常数参数中的 C\_{2\varepsilon} 表达成了应变率的方程，使得模型更加适用于强应变率流动。

这两种模型都假定 C\_\mu 是常数。这个假设在平板边界层、圆管流中效果不错，但一旦遇到强应变率或大曲率的流动，就会出现问题。

最经典的例子是圆管射流：实验发现，射流核心区的湍流粘度应该远低于标准模型的预测，导致射流扩张速度比实验值快约 40%。为什么标准模型会高估 \mu\_t？

\mu\_t = \rho C\_\mu \frac{k^2}{\varepsilon}

因为 k^2/\varepsilon 在射流中心被算得偏大，但 C\_\mu 又被锁死在 0.09，导致湍流粘度过大。从物理角度上，雷诺应力也必须满足一些物理约束。

因此为了达到这一目的，1995 年 Shih 等人提出了 Realizable k-ε 模型，核心目标就是：让 C\_\mu 不再是常数，而是随平均流场动态调整，并精准预测射流扩张。

Realizable 模型中的 C\_\mu 表达式为：

C\_\mu = \frac{1}{A\_0 + A\_s U^\* \frac{k}{\varepsilon}}

其中：

U^\* = \sqrt{S\_{ij}S\_{ij} + \Omega\_{ij}\Omega\_{ij}}

S = \sqrt{2 S\_{ij} S\_{ij}} \quad \text{（应变率大小）}

S\_{ij} 是平均应变率张量，\Omega\_{ij} 是平均旋转率张量（考虑角速度）。

当平均应变率 S 很大时，U^\* 变大，分母中 A\_s U^\* k/\varepsilon 项占主导，C\_\mu 会自动减小，湍流粘度就会降低，这就达到了对湍流预测的限制作用。

同时 Realizable 模型还对 \varepsilon 方程进行了改进。标准模型的 \varepsilon 方程来源于经验推导，并非严格理论推导。

Realizable 模型从输运方程出发推导得到 \varepsilon 方程：

\frac{\partial(\rho \varepsilon)}{\partial t}+\frac{\partial\left(\rho \varepsilon u\_i\right)}{\partial x\_i}=\frac{\partial}{\partial x\_j}\left[\left(\mu+\frac{\mu\_t}{\sigma\_\varepsilon}\right) \frac{\partial \varepsilon}{\partial x\_j}\right]+\rho C\_1 S \varepsilon-\rho C\_2 \frac{\varepsilon^2}{k+\sqrt{\nu \varepsilon}}

- **生成项** ：\rho C\_1 S \varepsilon，和标准的 \varepsilon 方程相比，直接用 S 乘以 \varepsilon，避免了 k 在分母上引起的奇异行为。
- **破坏项** ：分母中加了 \sqrt{\nu\varepsilon}，保证在近壁区不会发散。

我们总结一下，Realizable k-ε 模型重新推导 C\_\mu 和 \varepsilon 方程，使雷诺应力满足物理可实现条件，因此在旋转均匀剪切流、包含有射流和混合流的自由流动、管道内流动、边界层流动，以及带有分离的流动中通常最好。

Fluent 理论手册中专门指出：Realizable 模型能够更准确预测射流扩散率。

### 2.4 三种 k-ε 模型对比

我们借助 AI 来总结生成三种模型的对比表格：

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/e/efabbe1705810c2690d9320eb42a4c7093abf1b1.png)

## 3. Fluent k-ε 模型界面

### 3.1 标准 k-ε 模型界面

我们这里只说每个湍流模型附加的参数设置，对于通用的参数这里暂且不提。

对于标准 k-ε 模型，需要设置的就是界面右上的几个常数参数，也就是 2.1 节给出的参数：

C\_\mu=0.09、C\_{1\varepsilon}=1.44、C\_{2\varepsilon}=1.92、\sigma\_k=1.0、\sigma\_\varepsilon=1.3

这些常数经过了大量的工程检验，一般不需要修改。或者说，如果你想修改这些参数，那你就要给出能够说服别人的理由。

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/9/97aafda791915878bec42cda3f6c3bf13d893c24.png)

### 3.2 RNG k-ε 模型界面

RNG k-ε 模型界面也需要设置一些常数参数，这里在 2.2 节已经介绍过。下面我们重点说说 RNG Options 的设置：

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/4/4122c7e7a1937fc3428b2e73cabb72a108e887c2.png)

**Differential Viscosity Model** ：勾选此选项，表示使用有效粘度 \mu\_{eff} 的微分公式来考虑低雷诺数效应：

d\left(\frac{\rho^2 k}{\sqrt{\varepsilon \mu}}\right) = 1.72 \frac{\hat{\nu}}{\sqrt{\hat{\nu}^3 - 1}} d\hat{\nu}

其中 \hat{\nu} = \mu\_{eff}/\mu，表示有效粘度与分子粘度之比。

这个微分方程能更好地描述从粘性底层到对数律区的过渡。可以借此选择低雷诺数 RNG 模式，直接积分到壁面，而不依赖壁面函数。

**Swirl Dominated Flow** ：RNG 模型在强旋流中可以开启旋流修正。此时湍流粘度 \mu\_t 会乘以一个与旋流数相关的函数：

\mu\_t = \mu\_{t0} \cdot f \left( \alpha\_s, \Omega, \frac{k}{\varepsilon} \right)

这时界面会多出一个参数设置：

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/d/dabce525821223ca6a661923f45b9b48188800c6.png)

Fluent 中提供了旋流常数 \alpha\_s，默认 0.07。对于强旋流，可将其提高到 0.1 左右，进一步抑制过高的湍流粘度。

### 3.3 Realizable k-ε 模型

Realizable k-ε 模型需要设置一些常数参数，一般保持默认即可：

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/3/30068251f51d52011ffa7888f96944c0c8fbe9db.png)

除了常数参数外，Realizable k-ε 模型还可以启用 SBES 或者是 SDES 模型，也就是勾选 **Stress Blending（SBES）/ Shielded DES** 。

勾选这个选项后，设置比较复杂，这里我们只说明这个选项的作用，不详细介绍：

 ![image](https://www.cax.do/uploads/default/original/2X/4/4880c89c0312a80e48a7c9ce98e3376c3779b712.png)

勾选这个选项之后，相当于 RANS 控制方程植入 LES 功能，是一种混合 RANS-LES 方法。用 RANS 来处理附着边界层，用 LES 捕捉远离壁面的大尺度分离涡。